- ВЕКТОРНОЕ РАССЛОЕНИЕ
локально тривиальное расслоение
:
, каждый слои к-рого
наделен структурой (конечномерного) векторного пространства
над телом
;
наз. размерностью В. р. Сечения В. р. я образуют локально свободный модуль
над кольцом непрерывных функций на Всо значениями в
. Морфизмом В. р. наз. морфизм расслоений
', для к-рого каждое отображение является линейным отображением. Совокупность В. р. и их морфизмов образует категорию Bund. Понятие В. р. возникло как обобщение касательного расслоения и нормального расслоения в дифференциальной геометрии; в настоящее время оно является базой и орудием исследования в различных областях математики - в дифференциальной и алгебраич. топологии, теории линейных связно-стей, алгебраич. геометрии, теории (псевдо)дифференциальных операторов и т. д.
Подмножество
такое, что
есть В. р. и
- векторное подпространство
, наз. подрасслоением В. р.
. Пусть, напр., V - векторное пространство и
- Грассмана многообразие подпространства Vразмерности
; тогда подпространство произведения
состоящее из пар
таких, что
, есть подрасслоение
тривиального В. р.
объединение всех векторных пространств
, где
- подрасслоение я, снабженное фактортопологией, наз. фактор-расслоением В. р.
. Пусть, далее, V - векторное пространство и
- комногообразие Грассмана подпространств Vкоразмерности k;тогда факторпространство произведения
по подрасслоению, состоящему из пар
, есть факторрасслоение gk тривиального В. р.
. Понятия подрасслое-ния и факторрасслоения используются в конструкциях стягивания и склеивания, применяющихся для построения В. р. над факторпространствами.
В-морфизм В. р.
наз. точным, если
локально постоянна на В. Инъективный и сюрьективный морфизмы являются точными и наз. соответственно мономорфизмом и эпиморфизмом В. р. Для точного морфизма
однозначно определены следующие В. р.:
- под-расслоение
,
- подрасслоение
,
(коядро
) - факторрасслоение
,
(кообраз
) - факторрасслоение
; каждое подрасслоение p1 является образом нск-рого мономорфизма
а факторрасслоение p2 - коядром нек-рого эпиморфизма
Последовательность В-морфизмов В. р.
наз. точной, если для всех
является точной последовательность
В частности, последовательность
(где 0 - нулевое В. р.:
) точна, если
- мономорфизм,
- эпиморфизм и
. Совокупность В. р. над Ви их точных В-морфизмов образует точную подкатегорию
категории Bund.
Для любого В. р.
:
и отображения
- индуцированное расслоение
. снабжается такой структурой В. р., что морфизм
является морфизмом В. р. Эта структура единственна и обладает тем свойством, что каждое отображение
является изоморфизмом векторных пространств. Напр., каждое В. р. размерности kнад пара-компактным пространством Визоморфно В. р.
и
, индуцированным нек-рыми отображениями
соответственно, причем гомотопные отображения индуцируют изоморфные В. р., и, если
,- наоборот: изоморфным В. р. соответствуют гомотопные отображения
и
. Это - одна из основных теорем гомотопической классификации В. р., выражающая универсальность В. р.
и
по отношению к классифицирующим отображениям
и
Любой непрерывной операции ( функтору) Т на категории векторных пространств однозначно соответствует непрерывный функтор на категории В. р. над В;таким образом строятся расслоения, ассоциированные с данным В. р.: тензорные расслоения, В. р. морфизмов
и, в частности, сопряженное В. р.
, внешние степени В. р. и т. д., сечения к-рых наделяют В. р. дополнительными структурами, широко используемыми в приложениях.
Для В. р.
определяются прямая сумма (сумма У и т н и)
и тензорное произведение
,- относительно этих операций множество классов Vektfl, изоморфных над В, В. р. образуют полукольцо, играющее важную роль в построении К-функтора;так, если для В. р.
существуют тривиальные В. р.
такие, что В. р.
и
изоморфны (т. е.
и
стабильно эквивалентны), то их образы в пополнении K(В) полукольца
совпадают, при этом существование обратного В. р. для любого В. р. над параксмпактным пространством влечет совпадение кольца
и множества классов стабильной эквивалентности В. р.
Для каждого В. р.
над паракомпактным пространством Всуществует сечение
В. р.
где Р - тривиальное одномерное В. р., являющееся на каждом слое
положительно определенной формой, т. е.
- метризуемое; это позволяет установить, в частности, расщепляемость любой точной последовательности В. р.
в которой
метризовано,- существование такого морфизма
:
причем
- вложение в первое слагаемое,
- проекция на второе слагаемое.
Отождествлением в каждом слое
В. р.
точек, лежащих на одной прямой, проходящей через О, получается расслоение
, ассоциированное с В. р.
и наз. его проективизацией; слоем p0 является проективное пространство
, ассоциированное с V. С помощью этого расслоения изучаются Тома пространства
. используемые для гомотопической интерпретации классов бор-дантных многообразий, характеристических классов В. р., описывающих гомологические свойства многообразий, и т. д.
Понятие В. р. обобщается на случай, когда слой является бесконечномерным векторным пространством; при этом следует различать разные топологии пространства морфизмов
, вносить соответствующие изменения в определение точности морфизмов и их последовательностей, а также в построение В. р., ассоциированных с непрерывными функторами на категории бесконечномерных векторных пространств.
Лит.:[1] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [2] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [3] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [4] Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [5] Чшэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [6] Xирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973. А. Ф. Щекутьев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.