ВЕКТОРНОЕ РАССЛОЕНИЕ

локально тривиальное расслоение : , каждый слои к-рого наделен структурой (конечномерного) векторного пространства над телом ; наз. размерностью В. р. Сечения В. р. я образуют локально свободный модуль над кольцом непрерывных функций на Всо значениями в . Морфизмом В. р. наз. морфизм расслоений ', для к-рого каждое отображение является линейным отображением. Совокупность В. р. и их морфизмов образует категорию Bund. Понятие В. р. возникло как обобщение касательного расслоения и нормального расслоения в дифференциальной геометрии; в настоящее время оно является базой и орудием исследования в различных областях математики - в дифференциальной и алгебраич. топологии, теории линейных связно-стей, алгебраич. геометрии, теории (псевдо)дифференциальных операторов и т. д.

Подмножество такое, что есть В. р. и - векторное подпространство , наз. подрасслоением В. р. . Пусть, напр., V - векторное пространство и - Грассмана многообразие подпространства Vразмерности ; тогда подпространство произведения состоящее из пар таких, что , есть подрасслоение тривиального В. р. объединение всех векторных пространств , где - подрасслоение я, снабженное фактортопологией, наз. фактор-расслоением В. р. . Пусть, далее, V - векторное пространство и - комногообразие Грассмана подпространств Vкоразмерности k;тогда факторпространство произведения по подрасслоению, состоящему из пар , есть факторрасслоение g^k тривиального В. р. . Понятия подрасслое-ния и факторрасслоения используются в конструкциях стягивания и склеивания, применяющихся для построения В. р. над факторпространствами.

В-морфизм В. р. наз. точным, если локально постоянна на В. Инъективный и сюрьективный морфизмы являются точными и наз. соответственно мономорфизмом и эпиморфизмом В. р. Для точного морфизма однозначно определены следующие В. р.: - под-расслоение , - подрасслоение , (коядро ) - факторрасслоение , (кообраз ) - факторрасслоение ; каждое подрасслоение p₁ является образом нск-рого мономорфизма а факторрасслоение p₂ - коядром нек-рого эпиморфизма Последовательность В-морфизмов В. р.

наз. точной, если для всех является точной последовательность

В частности, последовательность

(где 0 - нулевое В. р.: ) точна, если - мономорфизм, - эпиморфизм и . Совокупность В. р. над Ви их точных В-морфизмов образует точную подкатегорию категории Bund.

Для любого В. р. : и отображения - индуцированное расслоение. снабжается такой структурой В. р., что морфизм является морфизмом В. р. Эта структура единственна и обладает тем свойством, что каждое отображение является изоморфизмом векторных пространств. Напр., каждое В. р. размерности kнад пара-компактным пространством Визоморфно В. р. и , индуцированным нек-рыми отображениями соответственно, причем гомотопные отображения индуцируют изоморфные В. р., и, если ,- наоборот: изоморфным В. р. соответствуют гомотопные отображения и . Это - одна из основных теорем гомотопической классификации В. р., выражающая универсальность В. р. и по отношению к классифицирующим отображениям и

Любой непрерывной операции ( функтору) Т на категории векторных пространств однозначно соответствует непрерывный функтор на категории В. р. над В;таким образом строятся расслоения, ассоциированные с данным В. р.: тензорные расслоения, В. р. морфизмов и, в частности, сопряженное В. р. , внешние степени В. р. и т. д., сечения к-рых наделяют В. р. дополнительными структурами, широко используемыми в приложениях.

Для В. р. определяются прямая сумма (сумма У и т н и) и тензорное произведение ,- относительно этих операций множество классов Vektfl, изоморфных над В, В. р. образуют полукольцо, играющее важную роль в построении К-функтора;так, если для В. р. существуют тривиальные В. р. такие, что В. р. и изоморфны (т. е. и стабильно эквивалентны), то их образы в пополнении K(В) полукольца совпадают, при этом существование обратного В. р. для любого В. р. над параксмпактным пространством влечет совпадение кольца и множества классов стабильной эквивалентности В. р.

Для каждого В. р. над паракомпактным пространством Всуществует сечение В. р.

где Р - тривиальное одномерное В. р., являющееся на каждом слое положительно определенной формой, т. е. - метризуемое; это позволяет установить, в частности, расщепляемость любой точной последовательности В. р. в которой метризовано,- существование такого морфизма : причем - вложение в первое слагаемое, - проекция на второе слагаемое.

Отождествлением в каждом слое В. р. точек, лежащих на одной прямой, проходящей через О, получается расслоение , ассоциированное с В. р. и наз. его проективизацией; слоем p₀ является проективное пространство , ассоциированное с V. С помощью этого расслоения изучаются Тома пространства . используемые для гомотопической интерпретации классов бор-дантных многообразий, характеристических классов В. р., описывающих гомологические свойства многообразий, и т. д.

Понятие В. р. обобщается на случай, когда слой является бесконечномерным векторным пространством; при этом следует различать разные топологии пространства морфизмов , вносить соответствующие изменения в определение точности морфизмов и их последовательностей, а также в построение В. р., ассоциированных с непрерывными функторами на категории бесконечномерных векторных пространств.

Лит.:[1] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [2] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [3] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [4] Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [5] Чшэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [6] Xирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973. А. Ф. Щекутьев.