- ВЕЙЛЯ МЕТОД
в теории чисел - метод для получения нетривиальных оценок тригонометрич. сумм вида
где
а an,...,a1 - любые действительные числа. В. м. был разработан Г. Вейлем [1] для установления критериев равномерного распределения (см. Вейля критерий).
Сущность В. м. заключается в следующем. Сумма (1) возвышается в степень
путем последовательных возвышений в квадрат с целью понижения степени многочлена 
. Напр., на первом шаге
где суммирования производятся по интервалам длины
, 
является многочленом степени
относительно 
(символы 
обозначают величины порядка Р). На (n- 1)-м шаге приходят к внутренней сумме
где
Суммы вида (2) оцениваются с помощью неравенства:
В результате получается оценка:
Из неравенства (3) выводятся различные оценки суммы (1) в случае, когда
будет величиной малой по сравнению с Р. Эти оценки зависят от точности, с к-рой коэффициент 
многочлена 
аппроксимируется рациональными дробями.
Пример. Пусть
Тогда имеет место неравенство
'
В частности, если
то
В. м. позволил решить в первом приближении ряд важных проблем теории чисел. С помощью оценки (3) и ее следствий было исследовано распределение дробных долей многочлена
. Решение Варинга проблемы, данное в 1919 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литл-вудом (J. Е. Littlewood), опиралось на оценки сумм (1) с помощью В. м. При этом им удалось оценить значения 
, для к-рых уравнение
(
- целое, 
-целые) разрешимо или даже имеет асимптотику для числа решений. Обобщение оценки (3) на случай функций 
, не являющихся многочленами, но в известном смысле близких к ним, привело к улучшению нек-рых теорем в теории распределения простых чисел (оценка разности соседних простых чисел, оценка остаточного члена в асимптотич. формуле для числа 
простых чисел, не превосходящих N).
Недостаточная сила оценок, получаемых с помощью В. м., объясняется высокой степенью r0, в к-рую возвышается сумма S(f). Нек-рое усовершенствование оценок сумм (1) дал И. ван дер Корпют (J. van der Corput). С помощью Виноградова метода получается весьма точная оценка сверху для интеграла
уже при
(
- константа, 
). Из этой оценки (см. Виноградова теорема о среднем) выводятся принципиально новые оценки сумм Вейля (1) (с понижающим множителем 
- константа), недосягаемые для В. м.
Лит.:[1] Wеуl Н., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 313 - 52; [2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971. Б. М. Бредихин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
