- НАИЛУЧШИЙ ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД
- линейный метод приближения, обеспечивающий на заданном множестве
приближаемых элементов наименьшую, по сравнению с другими линейными методами, погрешность. В линейном нормированном пространстве Xлинейный метод приближения элементов
элементами фиксированного подпространства
задается линейным оператором, отображающим все пространство Xили нек-рое, содержащее
, линейное многообразие в F. Если
- совокупность всех таких операторов, то Н. л. м. для множества
(если он существует) определяется оператором
, для к-рого
Метод, определяемый оператором Аиз
, заведомо является Н. л. м. для
относительно приближающего множества F, если для всех
(Е( х, F)- наилучшее приближение элемента хмножеством F)и, тем более, если для всех
Последний факт имеет место, когда X - гильбертово пространство,
есть n-мерное (n=1, 2, ...) его подпространство, А- линейный оператор ортогонального проектирования на
, т. е.
где
- ортонормированный базис в Fn.
Пусть X - банахово пространство заданных на всей действительной оси функций с нормой, инвариантной относительно сдвига:
(этому условию удовлетворяет, напр., норма пространств
и
-периодических функций),
- подпространство тригонометрич. полиномов порядка п. Для класса
функций
из X, содержащего вместе с x(t)также и z(t+a) при любом
существуют Н. л. м. (относительно Т n), в частности Н. л. м. вида
где
и
- коэффициенты Фурье функции x(t)по тригонометрич. системе,
и
- нек-рые числа.
На классах
-периодических функций
, у к-рых производная
локально абсолютно непрерывна, а
по норме в
(соответственно в
) ограничена числом М, Н. л. м.
вида (*) дает в метрике пространства С(соответственно L1 )ту же погрешность (на всем классе), что и наилучшее приближение подпространством
; аналогичный факт имеет место для таких классов при любом дробном
(производная
понимается в смысле Вейля). При целых r=1, 2, ... Н. л. м. вида (*) строится только с помощью коэффициентов
(все
).
Если
- подпространство 2p-периодических полиномиальных сплайнов порядка rдефекта 1 по разбиению
то для классов (и
),
Н. л. м. в
(соответственно в L1), доставляют сплайны из
, интерполирующие функцию
в точках
Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [2] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [31 Тихомиров В. М-, Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976- Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.