ЭРДЕША ЗАДАЧА

- задача о существовании в н-мсрном евклидовом пространстве Е _п множества точек, каждые три из к-рых образуют нетупоугольный треугольник (свойство Эрдеша), содержащего более чем 2ⁿ элементов. Поставлена П. Эрдешом (см. [1]); им же было высказано предположение (доказанное в [2]), что задача имеет отрицательный ответ и если множество, обладающее свойством Эрдеша, содержит 2ⁿ элементов, то это может быть в том и только в том случае, когда оно исчерпывает множество вершин n-мерного прямоугольного параллелепипеда из Е _п. Доказательство этого утверждения явилось решением и т. н. задачи Kли: чему равно число вершин т(К)многогранника каждые две вершины к-рого лежат в различных параллельных опорных гиперплоскостях к многограннику К(свойство К л и). Если множество обладает свойством Эрдеша, то выпуклая оболочка conv N множества Nпредставляет собой многогранник M=conv N, обладающий свойством Кли, и т(M)равно мощности множества N. Если многогранник Кобладает свойством Кли, то Равенство т(К)=2 ^п характеризует n-мерный параллелепипед в множестве всех многогранников, обладающих свойством Кли.
Э. з. связана с Хадвигера гипотезой: b (М) = т (М).

Лит.:[1] Еrdos P., лMichigan Math. J.