ЧЕБЫШЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО

такое множество . в метрич. пространстве что для любого в Мсуществует единственный наилучшего приближения элемент, т. е. элемент для к-рого Существование и единственность элемента наилучшего приближения являются простейшими, естественными требованиями, весьма удобными как с теоретической, так и с вычислительной точек зрения. Это и определяет роль Ч. м. в теории приближений и теории банаховых пространств. Логически понятие Ч. м. является развитием понятия Чебышева системы.
Конечномерное векторное подпространство с бaзисом тогда и только тогда является Ч. м. (чебышевским подпространством), когда функции образуют систему Чебышева (т. е. удовлетворяют Хаара условию). В евклидовом пространстве Ч. м. являются прямые, плоскости, выпуклые фигуры и тела. Нетривиальные примеры Ч. м. рассматривал впервые П. Л. Чебышев [1]. Это - подпространство алгебраич. многочленов степени и множество рациональных функций с фиксированными степенями числителя и знаменателя в пространстве С[ а, b].В евклидовых пространствах множество является Ч. м. в том и только в том случее, когда оно замкнуто и выпукло.
В геометрии Лобачевского Ч. м. не обязано быть выпуклым [7]. В двумерном нормированном пространстве, если оно негладко, легко строится невыпуклое Ч. м. <Существуют негладкие трехмерные пространства, в к-рых каждое Ч. м. выпукло. Проблема выпуклости произвольного Ч. м. в гильбертовом пространстве не решена (1984). В то же время имеются доказательства выпуклости Ч. м. при дополнительных условиях на множество и на пространство, а также условия, эквивалентные выпуклости для Ч. м. (см. Аппроксимативная компактность).
Поскольку Ч. м. могут быть невыпуклыми, изучаются другие их характеристики. Ч. м. Мназ. солнцем [2], если для любых и (где х' - точка в М, ближайшая для - луч с вершиной х', проходящий через х)точка х' является ближайшей в Мдля z. В гладких пространствах условия лM - выпукло