- ФУНКЦИОНАЛ
от марковского процесса - случайная величина или случайная функция, зависящая измеримым образом от траектории марковского процесса; условие измеримости варьируется в зависимости от конкретной ситуации. В общей теории марковских процессов принимается следующее определение Ф. Пусть в измеримом пространстве
задан необрывающийся однородный марковский процесс
с операторами временного сдвига
и пусть
-наименьшая из
-алгебр в пространстве элементарных событий, содержащих любое событие вида
где
- пересечение всех пополнений
по всевозможным мерам
Случайная функция
наз. функционалом от марковского процесса Х, если при каждом
величина
измерима относительно
-алгебры
Особый интерес представляют мультипликативные и аддитивные Ф. от марковских процессов. Первые из них выделяются условиемвторые - условием
причем функцию
считают непрерывной справа на
(с другой стороны, иногда приходится предполагать эти условия выполняющимися лишь Р х -почти наверное для любых фиксированных
Соответствующие формулировки принимаются в случае обрывающихся и неоднородных процессов. Примеры аддитивных Ф. от марковского процесса
можно получить, приравняв
при
или к
или к сумме скачков случайной функции f(xs )при
где f(х) - ограниченная и измеримая относительно
функция (второй и третий примеры корректны лишь при нек-рых дополнительных условиях). Переход от любого аддитивного Ф.
к ехр
доставляет пример мультипликативного Ф. В случае стандартного марковского процесса интересным и важным примером мультипликативного Ф. служит случайная функция, равная 1 при
и 0 при
где
-момент первого выхода Xиз нек-рого множества
С мультипликативными Ф., подчиненными условиюсвязано одно естественное преобразование марковского процесса -переход к подпроцессу. По переходной функции Р(t, х, В )процесса
строят новую
причем может оказаться, чтов нек-рых точках
Новой переходной функции в
соответствует нек-рый марковский процесс
к-рый вместе с исходным можно реализовать на одном и том же пространстве элементарных событий с одними и теми же мерами
причем так, что
при
и что
-алгебра
является следом
-алгебры
в множестве
Процесс
наз. подпроцессом марковского процесса X, получаемым в результате лубивания
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.