УНИПОТЕНТНАЯ ГРУППА

УНИПОТЕНТНАЯ ГРУППА

подгруппа Uлинейной алгебраич. группы G, состоящая из унипотентных элементов. Если отождествить G с ее образом при изоморфном вложении в группу GL(V)автоморфизмов подходящего конечномерного векторного пространства V, то У. г.- это подгруппа, лежащая в множестве


всех унипотентных автоморфизмов пространства V. Зафиксировав в Vбазис, можно отождествить GL(V)с полной матричной группой GLn(K), где К - основное алгебраически замкнутое поле; матричная группа Uтакже называется при этом У. г. Пример У. г.- группа U п (К)всех верхнетреугольных матриц из GLn(K) с единицами на диагонали. Если k- подполе поля К к U- унипотентная подгруппа в GLn(k). то Uсопряжена над kс нек-рой подгруппой группы Un(k). В частности, все элементы из U имеют в Vобщий ненулевой неподвижный вектор, a Uявляется нильпотентной группой. Эта теорема показывает, что алгебраические У. г.- это в точности замкнутые (в топологии Зариского) подгруппы групп Un (К)при различных п.
В любой линейной алгебраич. группе H имеется единственная связная нормальная унинотентная подгруппа Ru (Н) (унипотентный радикал), фактор H/Ru (Н)по к-рому редуктивен. Это в известной степени сводит изучение строения любой группы к изучению строения редуктивных групп и У. г. В отличие от редуктивного случая классификация алгебраических У. г. к настоящему времени (1984) неизвестна.
Всякая подгруппа и всякая факторгруппа алгебраической У. г. снова являются У. г. Если char К=0,то Uвсегда связна, причем экспоненциальное отображение ехр : (где - алгебра Ли группы U)является изоморфизмом алгебраич. многообразий; если же char К=р>0,то существуют несвязные алгебраические У. г.: напр., аддитивная группа Ga основного поля . (ее можно отождествить с U2(K))является р-группой и потому содержит конечные У. г. В связной У. г. Uимеется такая последовательность нормальных делителей что все факторы Ui/Ui+1 одномерны. Всякая связная алгебраическая одномерная У. г. изоморфна Ga. Это сводит изучение связных алгебраических У. г. к описанию кратных расширений групп типа Ga.
Значительно больше, чем в общем случае, известно о коммутативных алгебраических У. г. (см. [4]). Если char K=0, то это в точности алгебраич. группы, изоморфные при этом изоморфизм задается экспоненциальным отображением. Если же char K=p>0,то связные коммутативные алгебраические У. г. U - это в точности связные коммутативные алгебраич. группы, являющиеся р-группами. В этом случае Uне обязательно изоморфна для этого необходимо и достаточно, чтобы gP=e для любого В общем же случае Uизогенна произведению нек-рых специальных групп (т. н. групп Витта, см. [2]).
Если Ни U - связные алгебраические У. г. и то многообразие U/H изоморфно аффинному пространству. Любая орбита алгебраической У. г. автоморфизмов аффинного алгебраич. многообразия . замкнута в X[5].

Лит,:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Серр Ж. П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [3]Xамфри Дж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [4] Кambауасhi Т., Miyanishi М., Тakеuсhi M., Unipotent algebraic groups, В.- [а. о.], 1974; [5] Steinberg R., Conjugacy classes in algebraic groups, B.- fa. o.], 1974.
В. Л. Попов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "УНИПОТЕНТНАЯ ГРУППА" в других словарях:

  • УНИПОТЕНТНАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица Анад кольцом, для к рой матрица А Е п, где п порядок матрицы А, нильпотентна, то есть ( А Е п)n =0. Матрица над полем порядка пунипотентна тогда и только тогда, когда ее характеристический многочлен есть (x 1)n. Группа матриц… …   Математическая энциклопедия

  • РЕДУКТИВНАЯ ГРУППА — линейная алгебраич. группа G, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий: 1) радикал связной компоненты единицы G0 группы G есть алгебраический тор, 2).унипотентный радикал группы G0 тривиален, 3) группа G0 разлагается в… …   Математическая энциклопедия

  • ДИСКРЕТНАЯ ПОДГРУППА — подгруппа Г топологич. группы G(в частности, подгруппа группы Ли), являющаяся дискретным подмножеством топологич. пространства G. В локально компактных топологич. группах (в частности, в группах Ли) выделяют решетки Д. п., для к рых… …   Математическая энциклопедия

  • ТИТСА СИСТЕМА — совокупность (G, В, N, S), где G группа, Ви N ееподгруппы, S подмножество в причем выполнены следующие условия: (1) множество порождает группу G; (2) нормальная подгруппа группы N; (3) множество Sпорождает группу W=N/T и состоит из элементов… …   Математическая энциклопедия

  • РАДИКАЛ — группы G наибольшая нормальная подгруппа группы G, принадлежащая данному радикальному классу групп. Класс групп наз. радикальным, если он замкнут относительно гомоморфных образов, а также относительно бесконечных расширений , т. е. если классу… …   Математическая энциклопедия

  • РАВНОМЕРНАЯ ПОДГРУППА — локально компактной топологической группы G такая замкнутая подгруппа , что фактор пространство G/H компактно. С понятием Р. п. близко связано понятие квазиравномерной подгруппы в G, т. е. такой замкнутой подгруппы H в G, для к рой на G/H… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ ГРУППОВАЯ СХЕМА — групповая схема Gнад базисной схемой S, значение к рой на любой S схеме является абелевой группой. Примерами К. г. с. служат абелевы схемы и алгебраические торы. Обобщением алгебраич. торов в рамках теории групповых схем служит следующее понятие …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»