БОТТА ТЕОРЕМА ПЕРИОДИЧНОСТИ

основная теорема К-теории, в простейшем виде утверждающая, что для любого (компактного) пространства Xсуществует изоморфизм между кольцами и . Более общо, если L - линейное комплексное расслоение над - проективизация расслоения , то кольцо представляет собой -алгебру с одной образующей [Н]и единственным соотношением здесь - образ расслоения Ев кольце , -расслоение Хопфа над . Этот факт равносилен существованию изоморфизма Тома в K-теории для комплексных векторных расслоений. В частности, Б. -т. п. впервые доказана P. Боттом [1] с использованием теории Морса и получила переформулировку в терминах K-теории [6]; также доказано утверждение, аналогичное Б. т. п., для вещественных расслоений.

Б. т. п. устанавливает аакономерность свойства стабильного гомотопич. типа унитарной группы , состоящую в том, что - пространство петель на X,~ -слабая гомотопич. эквивалентность, в частности для i=0, 1, . . ., p_i ,есть i-я гомотопич. группа; аналогично, для ортогональной группы О _п:

Лит.:[1] Воtt R., "Ann. math.", 1959, v. 70, p. 313-37; [2] Милнор Д ж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965; [3] Атья м., Лекция по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [4] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [5] Мооrе I. С., On the periodicity theorem for complex vector bundles, Seminaire H. Cartan, 1959-60; [6] Atiуah M., Bott R., "Acta math.", 1964, v. 112, p. 229-47. А. Ф. Щекутьев.

БOXHEPA ИНТЕГРАЛ - интеграл от функции со значениями в банаховом пространстве по скалярной мере. Б. и. принадлежит к так наз. сильным интегралам.

Пусть - векторное пространство функций со значениями и банаховом пространстве X, заданных на пространстве со счетно аддитивной скалярной мерой на -алгебре подмножеств множества Е. Функция наз. простой, если

Функция наз. сил к но измеримой, если существует последовательность простых функций и почти всюду относительно меры на . В этом случае скалярная функция является -измеримой. Для простой функции

Функция наз. интегрируемой по Бохнеру, если она сильно измерима и если для любой аппроксимирующей последовательности простых функций

Для такой функции интегралом Бохнера по множеству наз.

где - характеристич. функция множества В, а предел понимается в смысле сильной сходимости в банаховом пространстве X. Этот предел существует и не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности простых функций.

Критерий интегрируемости по Бохнеру: для того чтобы сильно измеримая функция была интегрируема по Бохнеру, необходимо и достаточно, чтобы норма этой функции была интегрируема, т. е.

Множество функций, интегрируемых по Бохнеру, образует векторное подпространство пространства F, а Б. и. есть аддитивный и однородный оператор на этом подпространстве.

Свойства Б. и.:

1)

2) Б. и. есть счетно аддитивная и абсолютно непрерывная функция множеств -алгебры , т. е.

б) при равномерно по ;

3) если почти всюду относительно меры на и почти всюду относительно на В, причем ,

и

4) пространство полно относительно сходимости по норме:

5) если T-замкнутый линейный оператор из банахова пространства хв банахово пространство уи

то

в случае ограниченности Тусловие

выполняется автоматически ([3] -[5]).

Б. <и. введен С. Бохнером [1]. Эквивалентные определения даны Т. Гильденбрандтом [2] и Н. Данфордом (интеграл D₀).

Лит.:[1] Bochner S., "Fundam. math.", 1933, t. 20, p. 262- 76; 12] Hi1debrandt Т., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1953, v. 59; p. 1ll-39; [3] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [4] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., [2 изд.], М., 1962; [5] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 1 - Общая теория, Ы., 1962.

В. И. Соболев.