- УАЙТХЕДА КРУЧЕНИЕ
- элемент Уайтхеда группы
построенный по комплексу А-модулей. В частности, получается У. к. отображения комплексов. Пусть А - кольцо, F- конечнопорожденный А-модуль. Пусть b=(bl, . . ., bk) и c=(c1, . . ., ck)- два его базиса, и
Тогда матрицa
невырождена и, следовательно, определяет элeмент группы
обозначаемый [ с/b]. Если [ с/b]=0, то базисы bи сназ. эквивалентными. Очевидно,
Для произвольной точной последовательностисвободных А-модулей и базисов ки gв Еи . определен базис eg=(e, f )в F, причем образом элементов f является базис g. Класс эквивалентности этого базиса зависит только от базисов е и g.
Пусть теперь- комплекс из свободных A-модулей С i с отмеченными базисами е i, гомологии этого комплекса свободны и в них также выбраны базисы hi. Пусть образы гомоморфизмов
также свободны. Комбинации базисов
задают новые базисы в С i. Тогда кручение комплекса . определяется формулой
При этом кручение не зависит от базисов bi в группах границ, а только от с i и hi.
Пусть дана пара (K, L), состоящая из конечного связного клеточного разбиения Ки подкомплекса L, являющегося деформационным ретрактом К. ПустьЕсли
и
- универсальные накрывающие разбиений Ки L, то
определяет клеточное отображение
а следовательно, и отображение групп цепей
т. е.
является
-модулем. Получается свободный цепной комплекс
над
Гомологии этого комплекса тривиальны, т. е.
- деформационный рет-ракт
Пустьсуть р-клетки в
Для каждой клетки ei выбирается клетка-представитель
в
лежащая над е i, и фиксируется ее ориентация. Тогда
- базис в
Следовательно, определено подмножество
т. к. кручение, вообще говоря, зависит от выбора Оазиса с р. Однако уже образ этого множества в группе Уайтхеда Wh (П) состоит из одного элемента
и наз. кручением Уайтхеда пары ( К, L).
Важным свойством У. к. является его комбинаторная инвариантность. Является литопологич. инвариантом, неизвестно (1984).
Пусть- гомотопич. эквивалентность (Xи Y- клеточные комплексы). Тогда кручение отображения / определяется как
где М f - цилиндр отображения f. Если
то f наз. простой гомотопической эквивалентностью. Свойства кручения
1) если
- включение, то
2)
3) если f гомотопно f', то
если f - тождественное отображение односвязного комплекса с эйлеровой характеристикой
то
Лит.:[1] Whitehead J. H. C., лAmer. J. Math.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.