ТИХОНОВА ТЕОРЕМА

о бикомпактности произведения: топологич. произведение любого множества бикомпактных пространств бикомпактно. Это одна из основных теорем общей топологии; установлена А. Н. Тихоновым в 1929. Она играет весьма существенную и часто ключевую роль в построении практически всех разделов общей топологии и во многих ее применениях. В частности, Т. т. имеет основное значение для построения бикомпактных расширений вполне регулярных Т ₁ -пространств (т. <е. тихоновских пространств). С ее помощью строится расширение Стоуна - Чеха произвольного тихоновского пространства. Т. т. позволяет указать стандартные бикомпактные пространства - обобщенные канторовы дисконтинуумы являющиеся произведениями дискретных двоеточий в количестве и тихоновские кубы - произведения экземпляров обычного отрезка I числовой прямой. В качестве здесь может фигурировать любой кардинал. Значение обобщенных канторовых дисконтинуумов и тихоновских кубов связано прежде всего с тем, что они являются универсальными объектами: каждый нульмерный бикомпакт гомеоморфен замкнутому подпространству нек-рого и каждый бикомпакт гомеоморфен замкнутому подпространству нек-рого
Т. т. применяется при доказательстве нспустоты предела обратного спектра из бикомпактных пространств, при построении теории абсолютов, в теории бикомпактных групп. Если же иметь в виду опосредованные ее применения, то почти вся общая топология попадает в сферу действия этой Т. т. Так же трудно перечислить прямые и опосредованные применения Т. т. в других областях математики. Практически они встречаются всюду, где важную роль играет понятие компактности, - в частности в функциональном анализе (банаховы пространства в слабой топологии, меры на топологич. пространствах), в общей теории оптимального управления и т. д.

Лит.:[1] Келли Дж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981; [2] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974.
А. В. Архангельский.