ТЕТА-ФУНКЦИЯ

ТЕТА-ФУНКЦИЯ

, ТЕТА-ФУНКЦИЯ -функция, одного комплексного переменного - квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. е. функция имеющая, кроме периода еще квазипериод при прибавлении к-poro к значению аргумента значение функции умножается на нек-рый мультипликатор. Иначе говоря, имеют место тождества по z:

Как периодическая целая функция, Т.-ф. всегда представима рядом

в к-ром подбор коэффициентов с п должен обеспечивать сходимость. Ряды (1) наз. тета-рядами (по причине первоначальных обозначений). Возможны и иные представления Т.-ф., напр. в виде бесконечного произведения.
В приложениях обычно ограничиваются мультипликаторами вида

где k- натуральное число, называемое порядком или весом Т.-ф., q - числовой множитель, Сходимость обеспечивается, напр., коэффициентами вида

Во многих вопросах удобны Т.-ф., удовлетворяющие условиям

Все Т.-ф. вида (2) одного и того же порядка kсоставляют векторное пространство размерности k. Базис этого пространства можно записать в виде

Отдельные примеры Т.-ф. встречаются уже в работах Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713), Л. Эйлера (L. Euler), в теории теплопроводности Ж. Фурье (J. Fourier).
К. Якоби (С. Jacobi) подверг Т.-ф. системaтич. исследованию, выделил четыре специальные Т.-ф., к-рые и положил в основу своей теории эллиптич. функций (см. Якоби эллиптические функции).
Т.-ф. нескольких комплексных переменных возникают как естественное обобщение Т.-ф. одного комплексного переменного. Они строятся следующим образом. Пусть z=(z1, . . ., zp) - матрица-строка ркомплексных переменных, есть -я строка единичной матрицы Епорядка р; п= (п 1, . . ., п р) - целочисленная матрица-строка; -симметрич. матрица порядка р, составленная из комплексных чисел и такая, что матрица порождает положительно определенную квадратичную форму (здесь - транспонированная матрица п). Кратный тета - ряд

сходится абсолютно и равномерно на компактах из и определяет, следовательно, целую трансцендентную функцию ркомплексных переменных z1, . . ., zp, называемую тета-функциен порядка 1. Различные элементы матрицы Аназ. модулями, или параметрами Т.-ф. число модулей равно р(р+1)/2. Т.-ф. 1-го порядка удовлетворяет следующим основным тождествам по z:

где v=l, . . ., р; при и при Матрица S=(E, А )размера является системой модулей, или системой периодов и квазипериодов, Т.-ф. Если m=(m1, . . . .. ., т р), т' =( т'1, . . ., т' р) - произвольные целочисленные матрицы-строки, то в более общем виде свойства периодичности Т.-ф. можно записать так:

Пусть - произвольные комплексные матрицы-строки, - матрица размера Тогда формула

определяет Т.-ф. 1-го порядка с характеристикой (общего вида) Г; в этой терминологии Т.-ф. (3) имеет характеристику 0. Матрица Г иначе наз. периодич. характеристикой матрицы Всегда Свойства (4) для Т.-ф. с характеристикой Г обобщаются в виде

Характеристика наз. нормальной, если

Наиболее употребительны дробные характеристики, когда все - неотрицательные правильные рациональные дроби с общим знаменателем Наиболее важный и простой случай - полуцелые, или половинные, характеристики, когда Полуцелые характеристики можно считать составленными из чисел 0 и 1 (обычно под лтета-характеристиками


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "ТЕТА-ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • ТЕТА-ФУНКЦИЯ — (q функция) 1) обобщённая ф ция (ф ция Хевисайда). Производная Т, ф. равна дельта функции q (x) = d(x). 2) Квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т …   Физическая энциклопедия

  • тета-функция — сущ., кол во синонимов: 1 • функция (49) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • тета-функция — т ета ф ункция, и …   Русский орфографический словарь

  • тета-функция — (1 ж), Р. те/та фу/нкции …   Орфографический словарь русского языка

  • тета-функция — те/та фу/нкция, те/та фу/нкции ( фу/нкция) …   Слитно. Раздельно. Через дефис.

  • РИМАНА ТЕТА-ФУНКЦИЯ — суперпозиция тета функций1 го порядка , с полуцелыми характеристиками H и абелевых интегралов1 го рода, примененная Б. Риманом (В. Riemann, 1857) для решения Якоби проблемы обращения. Пусть алгебраич. уравнение, определяющее компактную риманову… …   Математическая энциклопедия

  • функция — См …   Словарь синонимов

  • ТЕТА-РЯД — ряд, функциональный ряд, применяемый для представления автоморфных форм и автоморфных функций. Пусть D область комплексного пространства дискретная группа автоморфизмов области D. Если группа Г конечна, то из любой мероморфной в Dфункции Н(z),… …   Математическая энциклопедия

  • Дзета-функция Гурвица — В математике Дзета функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица,  это одна из многочисленных дзета функций, являющихся обобщениями дзета функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s,… …   Википедия

  • АБЕЛЕВА ФУНКЦИЯ — обобщение эллиптической функции одного комплексного переменного на случай многих комплексных переменных. Мероморфная в комплексном пространстве функция f(z) от pкомплексных переменных наз. А. ф., если существуют 2р векторов строк из С p линейно… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»