- ТЕТА-ФУНКЦИЯ
- ТЕТА-ФУНКЦИЯ
-
(q-функция) -1) обобщённая ф-ция
(ф-ция Хевисайда). Производная Т,-ф. равна дельта-функции q'(x) = d(x). 2) Квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. <е. ф-ция q(z), имеющая кроме периода w ещё квазипериод wт, Imt>0, при прибавлении к-рого к значению аргумента значение ф-ции умножается на нек-рый мультипликатор f (z). Иначе говоря, имеют место тождества по z:
Как периодическая целая ф-ция, Т.-ф. всегда представима рядом
в к-ром подбор коэффициентов с n должен обеспечивать сходимость. Ряды (1) наз. т е т а-р я д а м и (по причине первонач. обозначений). Возможны и иные представления Т.-ф., напр. в виде бесконечного произведения.
В приложениях обычно ограничиваются мультипликаторами вида
где k - натуральное число, наз. п о р я д к о м или в е с о м Т.-ф., q - числовой множитель. Сходимость обеспечивается, напр., коэффициентами вида
Во мн. вопросах удобны Т.-ф., удовлетворяющие условиям
Все Т.-ф. вида (2) одного и того же порядка k составляют векторное пространство размерности k. Базис этого пространства можно записать в виде
Отд. примеры Т.-ф. встречаются уже в работах Я. Бернул-ли (J. Bernoulli, 1713), Л. Эйлера (L. Euler), в теории теплопроводности Ж. Фурье (J. Fourier). K. Якоби (С. Jacobi) подверг Т.-ф. систематич. исследованию, выделил четыре специальные Т.-ф., к-рые и положил в основу своей теории эллиптических функций.
Т.-ф. Якоби q0 (z), q1(z), q2(z), q3(z) представляют собой след. ряды, абсолютно и равномерно сходящиеся на компактах плоскости комплексного переменного z:
Эти ряды достаточно быстро сходятся. Обозначения q0(Z), q1(z), q2(z), q3(z) восходят к К. Вейерштрассу (К. Weierstrass). Вместо q0(z) часто пишут q4(z), имеются и др. системы обозначений.
Все Т.-ф. Якоби представляют собой целые трансцендентные ф-ции комплексного переменного z, причём q1(z) - нечётная ф-ция, а остальные ф-ции q0(z), q2(z), q3(z) - чётные.
Имеют место след. соотношения периодичности:
из к-рых вытекает, что Т.-ф. Якоби являются эллиптич. ф-циями III рода по Эрмиту.
Т.-ф. Якоби связаны между собой ф-лами преобразования:
Все четыре Т.-ф. удовлетворяют одному и тому же диффе-ренц. ур-нию:
Существуют также обобщения Т.-ф. на случай многих комплексных переменных. В физике Т.-ф. естественно возникают, в частности, в определении меры интегрирования функционального интеграла в струн теории.
Лит.: Уиттекер Э.-Т., Ватcон Дж.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, M., 1963; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, [пер. с нем.], M., 1968. E. Д. Соломенцев.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
