БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН

одна из форм больших чисел закона (вего общем понимании), утверждающая, что при определенных условиях с вероятностью единица происходит неограниченное сближение средних арифметических последовательности случайных величин с нек-рыми постоянными величинами. Точнее, пусть

- последовательность случайных величин и = Говорят, что последовательность (1) удовлетворяет Б. <ч. <у. <з., если существует такая последовательность постоянных АД, что вероятность соотношения

(при ) равна 1. Другая формулировка, равносильная предыдущей, такова: последовательность (1) удовлетворяет Б. <ч. <у. <з., если при любом вероятность одновременного выполнения всех неравенств

стремится к 1 при . Таким образом, здесь рассматривается поведение всей последовательности сумм в целом, в то время как в обычном законе больших чисел речь идет лишь об отдельных суммах. Если последовательность (1) удовлетворяет Б. <ч. <у. <з., то она удовлетворяет и обычному закону больших чисел с теми же самыми , т. е.

(при любом ). Обратное может быть неверно. Напр., если случайные величины (1) независимы и принимают при два значения с вероятностью 1/2 каждое, то для них выполняется закон больших чисел (4) с но ни при каких не выполняется Б. <ч. <у. <з. (2). Заранее существование таких примеров совсем не очевидно, т. к. хотя вообще сходимость по вероятности слабее сходимости с вероятностью 1, тем не менее, напр., для рядов из независимых случайных величин оба вида сходимости равносильны.

Б. <ч. <у. <з. был впервые сформулирован и доказан Э. Борелем [1] для схемы Бернулли (в теоретико-числовой интерпретации; см. Бореля усиленный закон больших чисел). Частные случаи схемы Бернулли возникают при разложении взятого наудачу (с равномерным распределением) действительного числа со из отрезка (0,1) в бесконечную дробь по к.-л. основанию (см. Бернулли испытания). Так, в двоичном разложении

последовательные знаки принимают два значения 0 и 1 с вероятностью 1/2 каждое и являются независимыми случайными величинами. Сумма равна числу единиц среди первых пзнаков двоичного разложения, а - их доле. В то же время S_n может рассматриваться как число "успехов" в схеме Бернулли с вероятностью "успеха" (появление 1), равной 1/2. Э. Борель доказал, что доля единиц стремится к 1/2 для почти всех со из отрезка (0,1). Аналогично, при разложении со по основанию 10 можно назвать "успехом" появление к.-л. одной из цифр О, 1, 2, . . ., 9 (напр., цифры 3). При этом получается схема Бернулли с вероятностью успеха 1/10, и частота появления выбранной цифры среди первых пзнаков десятичного разложения стремится к 1/10 для почти всех to из отрезка (0,1). Э. Борель отметил также, что частота появления любой фиксированной группы rцифр стремится для почти всех (см. Нормальное число). Ф. Кантелли [2] дал достаточные условия Б. <ч. <у. <з. для независимых случайных величин Х _п в терминах вторых и четвертых центральных моментов слагаемых (схема Бернулли охватывается этими условиями). Вводя обозначение

условию Кантелли можно придать вид

Доказательства Э. Бореля и Ф. Кантелли основаны на следующем соображении. Пусть для нек-рой последовательности положительных чисел

Тогда по Бореля - Кантелли лемме с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное .'висло событий, стоящих под знаком вероятности в (5). Поэтому с вероятностью 1 для всех достаточно больших п

т. е. имеет место (3). Э. Борель оценивал члены ряда (5) по теореме Муавра - Лапласа, а Ф. Кантелли -по неравенству Чебышева с четвертыми моментами.

Дальнейшее расширение условий приложимости Б. <ч. у. <з. было осуществлено А. Я. Хинчиным и А. Н. Колмогоровы"; А. Я. Хинчин [3], [4] ввел самый термин "усиленный закон больших чисел" и дал достаточное условие Б. <т. <у. <з. с (применимое и к зависимым величинам). Обозначая через коэффициент корреляции между и полагая

можно записать условие Хинчина в форме: для нек-рого . В действительности из доказательства А. Я. Хинчина вытекает значительно более сильное утверждение.

В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложимости Б. <ч. <у. <з., установленные А. Н. Колмогоровым: достаточное (1930) - для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) - для одинаково распределенных величин (заключающееся в существовании ма-тематич. ожидания величин ). Теорема Колмогорова для случайных величин (1) с конечными дисперсиями утверждает, что из условия

вытекает приложимость к последовательности (1) Б. ч. у. з. с В терминах дисперсий условие (6) оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел с расходящимся рядом можно построить последовательность независимых случайных величин не удовлетворяющую Б. ч. у. з. Область применения условия (6) (как, впрочем, и ряда других условий Б. ч. у. з. для независимых величин) может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть - медиана Сходимость ряда

необходима для Б. ч. у. з. Из леммы Бореля - Кантелли вытекает, что с вероятностью 1, начиная с нек-рого номера, Поэтому при изучении условий приложимости Б. ч. у. з. можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию.

В доказательствах А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова вместо сходимости ряда (5) устанавливается сходимость ряда

где . При этом А. Я. Хинчин привлекал, по существу, нек-рые идеи из теории рядов по ортогональным системам функций, а А. Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин.

Для независимых случайных величин можно дать необходимое и достаточное условие Б. ч. у. з. Полагая

где сумма распространена на те п, для к-рых , это условие можно записать в виде: при любом

где - медиана (см. [6]). Из (7) при дополнительных ограничениях можно получить условия, выраженные через характеристики отдельных слагаемых. Если,

напр., или если все распределены по нормальному закону, то условие (7) равносильно следующему: при любом

Здесь, в силу независимости ,

Известны условия применимости Б. ч. у. з. к марковским цепям и процессам и стационарным процессам (см. [7]). Напр., метод Хинчина, примененный к стационарным в широком смысле последовательностям с корреляционной функцией , приводит к следующему утверждению: если ряд сходится, то с вероятностью 1. Для стационарных в узком смысле процессов Б. ч. у. з. иногда толкуют, понимая под этим утверждение, что с вероятностью 1 существует предел

(случайная величина Y равна условному математич. ожиданию Х ₀ по отношению к s-алгебре множеств, инвариантных относительно сдвига; с вероятностью 1 величина Yпостоянна и равна E Х ₀ только для метрически транзитивных процессов). В указанной форме Б. ч. у. з. есть не что иное, как Биркгофа эргодическая теорема.

Существуют варианты Б. ч. у. з. для случайных векторов в нормированных линейных пространствах [9]. В качестве исторически первого примера можно привести теорему Гливенко - Кантелли о сходимости эмпирической функции распределения к теоретической.

Представление об отклонениях от А _п дает повторного логарифма закон.

Лит.:[1] Вorel E., "Rend. Circolo mat. Palermo", 1909, v. 27, p. 247-71; [2] Сante11i F. P., "Atti Accad. naz. Lincei", 1917, v. 26, p. 39-45; [3] Xинчин А. Я., Основные законы теории вероятностей, М., 1927; [4] его же, "С. r. Acad. sci.", 1928, t. 186, p. 285-7; [5] Колмогоров А. Н., "С. г. Acad. sci,", 1930, t. 191, p. 910-2; [6] Прохоров Ю. <В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1950, т. 14, с. 523-36; [7] Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [8] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [9] Гренандер У., Вероятности на алгебраических структурах, пер. с англ., М., 1965. Ю. В. Прохоров.