- СТРУКТУРА
1) С., математическая структура,- родовое название, объединяющее понятия, общей чертой к-рых является то, что они применимы к множествам, природа элементов к-рых но определена. Чтобы определить С., задают отношения, в к-рых находятся элементы множества (типовая характеристика С.), затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют условиям - аксиомам С.
Лит.:[1] Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963; [2] его же, Теория множеств, пер. с франц., М., 1965.
М. И. Войцеховский.2) С.- то же, что решетка.
3) С. на многообразии, геометрическая величина, поле геометрических объектов,- сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением коронеров многообразия М. Интуитивно геометрич. величину можно рассматривать как величину, значение к-рой зависит не только от точки хмногообразия М, но и от выбора ко репера - инфинитезимальной системы координат в точке х(см. Карта).
Более подробно, пусть GLk(n) - общая дифференциальная группа порядка k(группа k-струй в нуле преобразований пространствасохраняющих начало координат), Mk- многообразие кореперов порядка k n -мерного многообразия М(т. е. многообразие k-струй
локальных карт
с началом в точке х=и-1(0)).Группа GLk(n)действует слева на многообразии Mk по формуле
и это действие определяет в М k структуру главного GLk(n)-расслоенияназываемого расслоением кореперов порядка k. Пусть W - произвольное GLk(n)-многообразие, т. е. многообразие с левым действием группы GLk(n). Пусть, наконец, W(M)- пространство орбит левого действия группы GLk(n)в
а
- его естественная проекция на М. Расслоение
(ассоциированное с Mk и W )наз. расслоением геометрических структур порядка
и типа W, а его сечения - структурами типа W. С. типа . находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с GLk(n)-эквивариантными отображениями
Таким образом, С. типа Wможно рассматривать как W-значную функцию Sна многообразии Mk k -реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:
Расслоение
геометрич. объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия Мдействует как группа автоморфизмов
Если Wесть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы GLk(n). то С. типа Wназ. линейными (соответственно аффинными).
Основными примерами линейных С. 1-го порядка являются тензорные С., или тензорные поля. Пустьи
- пространство тензоров типа ( р, q )с естественным тензорным представлением группы GLl(n) - GL(n). С. типа
наз. тензорным полем типа ( р, q). Ее можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов М 1, сопоставляющую кореперу
набор координат
тензора
относительно стандартного базиса
пространства
При линейном преобразовании корепера
координаты
преобразуются по тензорному представлению:
Важнейшим примером тензорных С. являются векторное поле, дифференциальная, форма, риманова метрика, симплектическая структура, комплексная структура и, более общо, аффинор. Все линейные С. (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского [4]. Примером аффинной С. 2-го порядка служит аффинная связность без кручения, к-рую можно рассматривать как С. типа
, где
- ядро естественного гомоморфизма
рассматриваемое как векторное пространство с естественным действием группы
Широким и важным классом С. является класс инфинитезимально однородных структур, или G-структур, - структур типа W, где W=GLk(n)/G- однородное пространство группы GLk(n).
Приведенное выше определение С. оказывается недостаточно общим и не охватывает ряд важных геометрич. С. - спинорную С., симплектическую спинорную С. и др. Естественное обобщение состоит в рассмотрении обобщенных G-структур - главных расслоений, гомоморфно отображающих на G-структуру, и сечений ассоциированных с ними расслоений.Лит.:[1] Рашевский П., лТр. сем. по вект. и тенз. анализу...
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.