- СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОЦЕНКА
- функция от наблюденных значений X(1), . . ., X(N)стационарного случайного процесса с дискретным временем, используемая в качестве оценки спектральной плотности
В качестве С. п. о. часто используются квадратичные формы
где
- нек-рые комплексные коэффициенты (зависящие от
Можно показать, что асимптотич. поведение при
первых двух моментов С. п. о. в целом не ухудшится, если рассмотреть лишь подкласс квадратичных форм таких, что
при s1-t1=s2-t2; это позволяет ограничиться С. п. о. вида
где
есть выборочная оценка ковариационной функции стационарного процесса X(t). Оценку можно представить также в виде
где IN(x) - периодограмма, а Ф N(x) -нек-рая непрерывная четная функция, определяемая своими коэффициентами Фурье
Функцию Ф N(x) наз. спектральным окном;обычно рассматривают спектральные окна вида
Ф N(x) = А А Ф( А N х),
где Ф(х) - нек-рая непрерывная на
функция такая, что
а
при
но
Аналогично рассматривают коэффициенты bN(t)вида
и функцию К(х), называемую ковариационным окном. При достаточно слабых ограничениях на гладкость спектральной плотности
или на условия перемешивания случайного процесса X(t)для широкого класса спектральных или ковариационных окон оценка
оказывается асимптотически несмещенной и состоятельной.
В случае многомерного случайного процесса для оценки элементов матрицы спектральных плотностейпоступают аналогичным образом, используя соответствующие периодограммы
Вместо С. п. о. в виде квадратичных форм от наблюдений часто также предполагают, что спектральная плотность имеет нек-рую заданную форму, зависящую от конечного числа параметров, и затем разыскивают зависящие от наблюдений оценки параметров, содержащихся в выражении для спектральной плотности (см. Спектральная оценка максимальной энтропии, Спектральная оценка параметрическая).
Лит.:[1] Бриллинджер Д., Временные ряды. Обработка данных и теория, пер. с англ., М., 1980; [2] Xеннан Э ., Многомерные временные ряды, пер. сангл., М., 1974; [3] Андерсон Т., Статистический анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1978.
И. Г. Журбенко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.