СЕТЬ

- система псемейств достаточно гладких линий, определенных в области G n -мерного дифференцируемого многообразия Мтак, что 1) через каждую точку проходит точно по одной линии каждого семейства sⁱ; 2) векторы, касательные к этим кривым в точке х, образуют базис пространства Т _х - касательного пространства к многообразию Мв точке х. Векторы, касательные к линиям одного семейства sⁱ, принадлежат одномерному распределению , определенному в области G. Условия того, что семейства линий составляют С. в некрой окрестности точки, могут не выполняться при продолжении линий. Линии семейства sⁱ являются интегральными кривыми распределения . Сеть определяется заданием подномерных распределений таких, что в каждой точке касательное пространство Т _х является прямой суммой подпространств , i=1, 2, ..., п. Сеть определяет в области G(n-1)-мерные распределения такие, что в каждой точке подпространство является прямой суммой п-1 одномерных подпространств . Различают следующие типы С.: г о л о н о м н ы е С., для к-рых каждое из распределений интегрируемо (при n=2 всякая С. голономна); ч а с т и ч н о г о л о н о м н ы е С., для к-рых нек-рые из распределений интегрируемы, а остальные неинтегрируемы (такие С. подразделяются по числу неинтегрируемых распределений); неголономные С., для к-рых все распределения неинтегрируемы.

Если распределение , интегрируемо и gⁱ- интегральная кривая распределения , то через каждую точку проходит интегральное многообразие распределения , несущее сеть из кривых, принадлежащих семействам .

Сеть можно задать также одним из следующих способов: а) системой векторных полей , б) системой дифференциальных 1-форм wⁱ таких, что , в) полем аффинора Ф такого, что Ф ⁿ=E ( Е - единичный аффинор).

При изучении С. рассматриваются три основные проблемы: внутренние свойства С., внешние свойства С. и исследование диффеоморфизмов С.

Внутренние свойства С. индуцируются структурой многообразия, несущего С. Напр., сеть в пространстве Маффинной связности наз. геодезической сетью, если все ее линии геодезические. Если риманово многообразие Мсо связностью без кручения, в к-рой метрич. тензор ковариантно постоянен, несет ортогональную чебышевскую сеть1-го рода, то М - локально евклидово. Связь таких С. с параллельным перенесением векторов на поверхности была установлена Л. Бьянки (L. Bianchi, 1922). Эта связь была положена А. П. Норденом в основу определения чебышевской С. 1-го рода в пространстве аффинной связности.

Внешние свойства С. индуцируются структурой объемлющего пространства Е. Так, напр., пусть сеть , заданная в нек-рой области G на гладкой поверхности V_n проективного (n+k )-мерного пространства ,- с о п р я ж е н н а я С., то есть в каждой точке сопряжены направления касательных к любым двум линиям С., проходящим через точку х(два направления сопряжены, если каждое из них принадлежит характеристике касательной плоскости Т _х при ее смещении в другом направлении). Если V_n не вмещается в проективное пространство размерности, меньшей n+k, то при k=1поверхность V_n несет бесконечное множество сопряженных С.; при k=2поверхность несет в общем случае единственную сопряженную С., но существуют и такие n-мерные поверхности, на к-рых нет ни одной сопряженной С.; при k>2 только n-мерные поверхности специального строения несут сопряженную С. При n>2 сопряженная С. может и не быть голономной (см. [3]). Частным случаем голономной сопряженной С. является n-с о п р я ж е н н а я с и с т е м а: сеть , обладающая тем свойством, что касательные к линиям каждого семейства, взятые вдоль любой линии любого другого семейства, образуют развертывающуюся поверхность. Сопряженные системы существуют в проективном пространстве любой размерности n+k при . Поверхности V_n, несущие n-сопряженную систему в проективном (n+k )-мерном пространстве, когда , и в каждой точке соприкасающееся к V_n пространство (пространство вторых дифференциалов точки х)размерности 2n, впервые рассматривал Э. Картан [4] под названием "многообразия особого проективного типа" (п о в е р х н о с т и К а р т а н а). На такие С. было распространено понятие Лапласа преобразования (см. [5], [6]).

При изучении диффеоморфизмов С. по известным свойствам сети описываются свойства сети при заданном диффеоморфизме (напр., при изгибании или при конформном отображении поверхности, несущей С.) или ищется диффеоморфизм j, сохраняющий нек-рые из свойств сети Так, напр., сеть на поверхности евклидова пространства наз. ромбической сетью (конформно-чебышевской), если она допускает конформное отображение на чебышевскую С. На всякой поверхности вращения асимптотическая сеть является ромбической.

Лит.:[1] Н о р д е н А. П., Пространства аффинной связности, 2 изд., М., 1976; [2] Д у б н о в Я. С., Ф у к с С. А., "Докл. АН СССР", 1940, т. 28, № 2, с. 102-04; [3] Б а з ы л е в В. Т., в кн.: Итоги науки. Геометрия, 1963, М., 1965; [4] С а r t a n Е., "Bull. Soc. math, de France", 1919, t. 47, p. 125-60; [5] С h е r n S. S., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1944, v. 30, p. 95- 97;. [6] С м и р н о в Р. В., "Докл. АН СССР", 1950, т. 71, № 3, с. 437-439. В. Т. Базылев.