СЕКТОР

в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 1) .- открытый криволинейный сектор Sсвершиной в изолированной особой точке О автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка:

(*)

, G - область единственности, удовлетворяющая следующим четырем условиям. 1) Каждая из боковых стенок Sявляется ТО- кр и в о й системы (*) (полутраекторией, примыкающей при к точке О, касаясь в ней определенного направления). 2) Задней стенкой Sявляется простая параметрич. дуга (гомеоморфный образ отрезка). 3) В нет особых точек системы (*). Четвертым условием является одно из трех следующих. 4а) Все траектории системы (*), начинающиеся в S, покидают этот сектор как с возрастанием, так и с убыванием t;такой С. наз. гиперболическим, или седловым (рис.1). 46) Все траектории системы (*), начинающиеся в Sв достаточной близости от О, с возрастанием t, не выходя из S, примыкают к точке О, а с убыванием tпокидают S(или наоборот); такой С. наз. параболическим, или открытым узловым (рис. 2). 4в) Все траектории системы (*), начинающиеся в S в достаточной близости от О, как с возрастанием, так и с убыванием t, не выходя из S, примыкают к точке О, образуя вместе с Озамкнутые кривые (п е т л и), причем из любых двух петель одна охватывает другую; такой С. наз. э л л и п т и ч е с к и м, или з а м к н у т ы м у з л о в ы м (рис. 3).

Для аналитич. системы (*), имеющей ТО -кривые, круг Qдостаточно малого радиуса с центром в точке Овсегда может быть разбит на конечное число С. описанного вида: hгиперболических, рпараболических и еэллиптических (см. [1], [2]). Выявить все эти С., определить тип каждого из них и установить для них закон следования друг за другом при обходе точки Опо границе круга Q(и тем самым выяснить топологич. структуру расположения траекторий системы (*) в окрестности точки О)можно, напр., с помощью Фроммера метода. Для чисел h, р и е имеются априорные оценки сверху через порядок малости нормы при (см. [1], [4], [5]).

Иногда (см., напр., [3]) понятие "С." определяется свободнее: в гиперболич. и параболич. С. допускается наличие петель, покрывающих множество, не имеющее предельных точек на задней стенке С., а в эллиптич. С. - наличие петель, не охватывающих друг друга.

При этом первая фраза предыдущего абзаца сохраняет силу и для систем (*) общего вида, а индекс Пуанкаре особой точки Осистемы (*) выражается ф о р м у л о й Б е н д и к с о н а:

Лит.:[1] B e n d i x s o n I., "Acta math.", 1901, v. 24 p. 1-88; [2] А н д р о н о в А. А., Л е о н т о в и ч Е. A. Г о р д о н И. И., М а й е р А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка, М.,1966; [3] Х а р т м а н Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ. М., 1970; [4] Б е р л и н с к и й А. Н., "Докл. АН СССР" 1969, т. 187, № 3, с. 502-05; [5] С а г а л о в и ч М. Е., "Дифференц. уравнения", 1979, т. 15, №2, с. 360-62.

2) С е к т о р Ф р о м м е р а, нормальная область Фроммера,- круговой С.

с вершиной в изолированной особой точке О( х- х₀ )системы (*) (см. п. 1), боковыми стенками ОА и ОB, , , и задней стенкой АВ (здесь r,j - полярные координаты на х-плоскости с полюсом в точке , удовлетворяющий следующим условиям:

(1) j=j₀ - исключительное направление системы (*) в точке О, т. е. существует последовательность , k=1, 2, . . ., при , такая, что если , то при , и такое направление единственно в N,

(2) для любого ,

(3) для любого

Пусть угол a (x) отсчитывается от вектора х-х₀ и имеет знак направления отсчета. Сектор Nназывается: н о р м а л ь н о й о б л а с т ь ю Ф р о м м е р а 1-го типа (обозначение N₁), если tg a (x)<0 при

при ; нормальной областью 2-го типа (N₂), если на ОА,. на ОB; нормальной областью 3-го типа (N₃),если tg a. (х)на ОА и на ОВ имеет один и тот же знак. Эти области были введены М. Фроммером [1].

Траектории системы (*) в нормальных областях Фроммера ведут себя следующим образом. Область N₁. покрыта О-кривыми системы (рис. 4). Они образуют открытый пучок - семейство одноименных О-кривых, непрерывно зависящее от параметра, пробегающего открытый промежуток. В области N₂ существует либо (а) единственная O-кривая (рис. 5), либо (б) бесконечно много О-кривых (замкнутый пучок, рис. 6). В области N₃ либо (а) существует бесконечно много О-кривых (полуоткрытый пучок, рис. 7), либо (б) не существует О-кривых (рис. 8). В нормальной области Nлюбого типа O-кривые при (или ) примыкают к точке Опо направлению j=j₀, а с убыванием (возрастанием) tпокидают область N;все остальные траектории покидают область Nкак с возрастанием, так и с убыванием t. Задачи различения случаев (а) и (б) для областей N₂. и N₃ наз. соответственно 1-й и 2-й проблемами различения Фроммера.

Если система (*) имеет в точке Оконечное число (>0) исключительных направлений, каждое из них

можно заключить в нормальную область N, и для всех областей N₂ и N₃ будут решены проблемы различения Фроммера, то топологич. структура расположения траекторий системы в окрестности точки Обудет выяснена полностью, ибо секторы с вершиной в О, расположенные между нормальными областями, в достаточной близости от точки Ополностью пересекаются траекториями системы (как на рис. 8). Такая ситуация имеет место, напр., в случае, когда

P₁, P₂ -формы степени от компонент х ₁, x₂ вектора х,

причем выполняются следующие условия: форма имеет действительные линейные множители; формы P₁, Р₂ не имеют общих действительных линейных множителей; . При этом в каждой из областей N₂, N₃ будет иметь место расположение (а).

Аналоги нормальных областей Фроммера введены и для систем вида (*) порядка

Лит.:[1] F r o m m e r М., "Math. Ann.", 1928, Bd 99, S. 222-72; [2] Н е м ы ц к и й В. В., С т е п а н о в В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949; [3] А н д р е е в А. Ф., в сб.: Тр. Четвертого Всесоюзного матем. съезда, т. 2, Л., 1964, с. 394-402.

А. Ф. Андреев.