РЭЛЕЯ УРАВНЕНИЕ

- нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

(*) где функция F(и)удовлетворяет предположению:

Р. у. описывает типичную нелинейную систему с одной степенью свободы, в к-рой возможны автоколебания. Названо по имени Рэлея (Rayleigh), изучавшего уравнение такого типа в связи с задачами акустики [1].

Если уравнение (*) продифференцировать, а затем положить , то получится Льенара уравнение

Частным случаем Р. у. при

является Ван дер Поля уравнение. Иногда Р. у. наз. частный случай уравнения (*):

Имеется большое число работ, в к-рых выясняются условия существования и единственности устойчивого предельного цикла у Р. у., то есть условия возникновения автоколебаний. Вопрос о периодич. решениях изучался и для различных обобщений Р. у., напр, для

где е(t) - периодич. функция.

С и с т е м о й т и п а Р э л е я часто наз. уравнение

причем обычно предполагается, что

а Н- ограниченная и периодическая по tвектор-функция. Представляет интерес получение достаточных условий существования периодич. решений таких систем.

Лит.:[1] С т р е т т Дж. В. (л о р д Р э л е й), Теория звука, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М.- Л., 1955; [2] Ч е з а р и Л., Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1964. См. также лит. при ст. Лъенара уравнение, Н. X. Розов.