ЛЬЕНАРА УРАВНЕНИЕ

ЛЬЕНАРА УРАВНЕНИЕ

- нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

Это уравнение описывает динамику системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и нелинейного затухания. Если функция f(x).обладает следующим свойством:

т. е. если при малых амплитудах система поглощает энергию, а при больших происходит диссипация, то в системе можно ожидать самовозбуждение колебаний (возникновение автоколебаний). Впервые достаточные условия возникновения автоколебаний в системе (*) доказал А. Льенар [1].

Л. у. тесно связано с Рэлея уравнением. Важным частным случаем Л. у. является Ван дер Поля уравнение. Вместо уравнения (*) часто удобно рассматривать систему

(автоколебательному процессу в системе (*) адекватен устойчивый предельный цикл на фазовой плоскости x, v).или эквивалентное ей уравнение

Если ввести новую переменную

где

то уравнение (*) переходит в систему

Более общими, чем Л. у., являются уравнения

Основной интерес представляет выяснение возможно более широких достаточных условий, при к-рых эти уравнения имеют единственное устойчивое периодич. решение. Подробно изучалось также неоднородное Л. у.

и его обобщения.

Лит.:[1] Lienard A., "Rev. gen. electr.", 1928, t. 23, p. 901 - 12, 946 - 54; [2] А н д р о н о в А. А., В и т т А. А., X а и к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 195Э; [3] С а н с о н е Д ж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 2, М., 1954; [4] Л е ф ш е ц С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961; [5] Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р., Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1974. Н. X. Розов.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Помощь в написании эссе

Полезное


Смотреть что такое "ЛЬЕНАРА УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • РЭЛЕЯ УРАВНЕНИЕ — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка (*) где функция F(и)удовлетворяет предположению: Р. у. описывает типичную нелинейную систему с одной степенью свободы, в к рой возможны автоколебания. Названо по имени Рэлея… …   Математическая энциклопедия

  • КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений. Основы К. т. д. у. были заложены в конце 19 в. А. Пуанкаре (см. [1], [2]) и А. М. Ляпуновым (см. [3], [4]). А. Пуанкаре… …   Математическая энциклопедия

  • Быстро-медленная система — Фазовый портрет быстро медленной системы; зеленым показана устойчивая часть медленной поверхности, красным  неустойчивая …   Википедия

  • ЭЛЕКТРОДИНАМИКА — классическая, теория (неквантовая) поведения электромагнитного поля, осуществляющего взаимодействие между электрич. зарядами (электромагнитное взаимодействие). Законы классич. макроскопич. Э. сформулированы в Максвелла уравнениях, к рые позволяют …   Физическая энциклопедия

  • Критерий устойчивости Гурвица — Критерий устойчивости Рауса Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»