Волны Рэлея

Волны Рэлея — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея теоретически предсказавшего их в 1885 году^[1].

Описание

Изображение волны Рэлея.

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности, Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.^[2]

Изотропное тело

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρ, уравнение движения для смещений U можно записать в виде

$\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm{div}\textbf{U},$

(1)

где λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=U_t+U_l, где U_t=grad φ и U_l=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений^[3]:

$\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_l}{\partial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,$

(2.1)

$\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_t}{\partial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.$

(2.2)

Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x,z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}+k_l^2\phi=0,$

(3.1)

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}+k_t^2\psi=0,$

(3.2)

где $k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$ $k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$ — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн^[4]:

$\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],$

(4.1)

$\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],$

(4.2)

где $q^2=k^2-k_l^2$; $s^2=k^2-k_t^2$; $k^2>k_t^2>k_l^2$; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представлют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде

$U_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial z},$

(5.1)

$U_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \psi}{\partial x}.$

(5.1)

Из закона Гука компоненты тензора напряжений

$T_{zz}=\lambda\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)+2\mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0,$

(6.1)

$T_{xz}=\lambda\left(2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}\right)=0.$

(6.2)

После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имееет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно^[5]

$\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,$

(6)

где $\eta=k_t/k$, $\xi=k_l/k_t$. Это уравнение имеет единственный корень относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:

$\eta_R=\frac{0,87+1,12\nu}{1+\nu}.$

(7)

Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны^[6]:

$U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],$

(8.1)

$U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[i\left(k_Rx-\omega t\right)\right].$

(8.2)

Примечания

1. ↑ Lord Rayleigh (1885). «On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid». Proc. London Math. Soc. s1-17 (1): 4–11.
2. ↑ Викторов И. А., с. 11
3. ↑ Викторов И. А., с. 7
4. ↑ Викторов И. А., с. 8
5. ↑ Викторов И. А., с. 9
6. ↑ Викторов И. А., с. 10

Литература

• Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.