РОБЕНА ПОСТОЯННАЯ

- численная характеристика множества точек евклидова пространства , , тесно связанная с емкостью множества.

Пусть K - компакт в , m - положительная борелевская мера, сосредоточенная на K и нормированная условием m(K)=1. Интеграл

где

- расстояние между точками , есть энергия мерыm. Постоянной Робена компакта Kназ. нижняя грань g(K) =inf V(m)по всем мерам m указанного вида. Если , то эта грань конечна и достигается на нек-рой (единственной) р а в н о в е с н о й (или е м к о с т н о й) м е р е l> 0, g(K)=V(l),l(K)=1, сосредоточенной на K; если , то для всех мер mуказанного вида. Р. п. компакта Kсвязана с его емкостью соотношениями

Если граница Sкомпакта Kдостаточно гладкая, напр. состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых замкнутых поверхностей (при ) или кривых (при п=2)класса С ^1,a,0< a< 1, то равновесная мера l сосредоточена на части , к-рая составляет границу той связной компоненты дополнения , к-рая содержит бесконечно удаленную точку. Р а в н о в е с н ы й п о т е н ц и а л, т. е. потенциал равновесной меры

в этом случае принимает на постоянное значение, равное g(K), что и позволяет вычислить Р. п. компакта в простейших случаях (см. Робена задача). Напр., Р. п. круга радиуса r > 0 в равна - In r, а Р. п. шара радиуса r>0 в , равна . В случае произвольного компакта Kположительной емкости всюду и всюду на носителе S(l) равновесной меры l, кроме, быть может, точек нек-рого полярного множества, причем всегда .

Пусть D - область расширенной комплексной плоскости , содержащая внутри бесконечно удаленную точку и допускающая функцию Грина с полюсом в бесконечности. Тогда имеет место представление

(1)

где z=x+iy - комплексное переменное, g(D) - постоянная Р о б е н а о б л а с т и D, - гармонич. функция в D, причем

Определяемая формулой (1) Р. п. области Dсовпадает с Р. п. компакта . Если функция Грина для области Dне существует, то полагают .

Обобщая представление (1), для римановой поверхности R, допускающей функцию Грина, может быть получено локальное представление функции Грина g (p,p₀) с полюсом :

(2)

где z=z(p) - локальный униформизирующий параметр в окрестности полюса р ₀, z(p₀)=z₀, g(R; р₀) - постоянная Робена римановой поверхности Rотносительно полюса р ₀, e( р, р₀)- гармонич. функция в окрестности р ₀, причем . Для римановых поверхностей Rне допускающих функцию Грина, полагают . В выражении (2) значение Р. п. g(R; p₀ )зависит уже от выбора полюса , но соотношения и не зависят от выбора полюса, что и позволяет использовать понятие Р. п. для классификации римановых поверхностей.

Лит.:[1] Н е в а н л и н н а Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.-Л., 1941; [2] С т о и л о в С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 2, М., 1962; [3] S a r i о L., N a k a i M., Classification theory of Riemann surfaces, В.-N. Y., 1970. Е. Д. Соломенцев.