РИМАНОВА МЕТРИКА

РИМАНОВА МЕТРИКА

- метрика пространства, задаваемая положительно определенной квадратичной формой. Если в пространстве Vn введена локальная система координат (x1, ... , х n )и в каждой точке Х(х 1, ... , ... , х n) определены функции gij(X), i, j=1, 2, ... , n, det (gij)>0, gij(X)=gji(X), являющиеся компонентами ковариантного симметричного тензора второй валентности, то этот тензор наз. о с н о в н ы м м е тр и ч е с к и м т е н з о р о м пространства Vn. С помощью основного тензора выражается длина ds контравариантного вектора (dx1,... , dxn):


форма является положительно определенной квадратичной формой. Метрика пространства Vn , определенная с помощью формы ds2, наз. римановой, а пространство с введенной в нем Р. м. наз. римановым пространством. Задание Р. м. на нек-ром дифференцируемом многообразии означает задание на этом многообразии евклидовой структуры, дифференцируемым образом зависящей от точки.

Р. м. является обобщением первой квадратичной формы поверхности в трехмерном евклидовом пространстве - внутренней метрики поверхности. Геометрия пространства Vn , основанная на определенной Р. м., наз. римановой геометрией.

Существуют обобщения понятия Р. м. Так, псевдориманова метрика определяется с помощью неопределенной квадратичной формы (см. Псевдориманово пространство и Относительности теория). Вырожденная Р. м., то есть метрич. форма, определенная с помощью функций gij(X), для к-рых det (gij) = 0, определяет нек-рое полуриманово пространство.

Лит.:[1] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [2] Р а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Р и м а н Б., О гипотезах, лежащих в основании геометрии, пер. с нем., в кн.: Об основаниях геометрии, М., 1956. Л. А. Сидоров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "РИМАНОВА МЕТРИКА" в других словарях:

  • Риманова метрика — Метрический тензор или метрика это симметричный тензор ранга 2 на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д. В частном случае… …   Википедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия риманова пространства. Осн …   Физическая энциклопедия

  • МЕТРИКА — обобщение понятия расстояния между точками евклидова пространства на множества, в к рых можно ввести M. (метрич. пространства). Для точек х, у такого пространства M. это вещественная неотрицат. ф ция, удовлетворяющая условиям: 1) лишь при 3) Вид… …   Физическая энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

  • ИНВАРИАНТНАЯ МЕТРИКА — риманова метрика mна многообразии М, не изменяющаяся при всех преобразованиях из данной группы Ли G преобразований. Сама группа G при этом наз. группой движений (изометрий) метрики m(или риманова пространства ( М, т)). Группа Ли G преобразований… …   Математическая энциклопедия

  • Метрика Лоренца — псевдоевклидова метрика пространства Минковского, естественно возникающая в специальной теории относительности, и в качестве тривиального частного случая в общей теории относительности. Плоское пространство Минковского с координатами ,… …   Википедия

  • Риманова геометрия — Не следует путать с геометрия Римана. Риманова геометрия это раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, т. е. гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой,… …   Википедия

  • Метрика — I Метрика (греч. metrike, от métron мера, размер)         1) совокупность законов. строения стиха; то же, что Стихосложение. 2) Наука о законах строения стиха; то же, что стиховедение. Преимущественно термин «М.» применяется к ранним эпохам… …   Большая советская энциклопедия

  • ВНУТРЕННЯЯ МЕТРИКА — метрика , при к рой любые две точки х, у метрич. пространства соединимы спрямляемой кривой и где длина кривой в метрике . Риманова метрика всегда В. м. Если в пространстве с метрикой любые две точки соединимы спрямляемой кривой, то равенство… …   Математическая энциклопедия

  • ФУБИНИ - ШТУДИ МЕТРИКА — эрмитова метрика на комплексном проективном пространстве определяемая эрмитовым скалярным произведением ( и, v )в пространстве Была введена почти одновременно Г. Фубини [1] и Э. Штуди [2]. Ф. Ш. м. задается формулой где |x|3 = (x,х); расстояние… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»