РАМАНУДЖАНА СУММЫ

- зависящие от двух целочисленных параметров kи птригонометрич. суммы

где hпробегает все целые неотрицательные числа, меньшие, чем k, и взаимно простые с k. Основные свойства Р. с.- мультипликативность относительно индекса k:

а также представление через функцию Мёбиуса m:

Р. с. являются ограниченными, если ограничено kлибо п. В частности,

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента разлагаются в ряды по Р. с. и наоборот, основные свойства Р. с . позволяют просуммировать суммы вида

где f(n) - мультипликативная функция, - целое число. В частности,

где - дзета-функция Римана, s _а (п) - сумма a-х степеней делителей числа n. Такие суммы тесно связаны с особыми рядами нек-рых аддитивных проблем теории чисел, напр. представление натуральных чисел в виде четного числа квадратов. С. Рамануджаном [1] были получены многие формулы, содержащие Р. с.

Лит.:[1] R a m a n u j a n S., "Trans. Camb. Phil. Soc.", 1918, v. 22, p. 259-76; [2] H a r d у G. H., "Proc. Camb. Phil. Soc.", 1920/21, v. 20, p. 263-71; [3] R a m a n u j a n S., Collected papers, ed. G. H., Hardy, [a. o.], Camb., 1927, p. 137-41; [4] V о 1 k m a n n В., "J. reine und angew. Math.", 1974, Bd 271, S. 203-13; [5] Т и т ч м а р ш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; [6] Л е в и н В. И., в кв.; Историко-математичесиие исследования, т. 13, М., 1960.

К. Ю. Булота.