- БИБЕРБАХА - ЭЙЛЕНБЕРГА ФУНКЦИИ
в круге
- класс Rфункций
, регулярных в круге
, имеющих в нем разложение вида
и удовлетворяющих условию
Этот класс функций является естественным расширением класса Вфункций
, регулярных в круге
имеющих разложение (1) и таких, что
в круге
Класс однолистных функций из Rобозначают
. Функции класса Rбыли названы по имени Л. Бибербаха [1], показавшего, что для
имеет место неравенство
причем равенство в (2) достигается только для функции
где
действительное, и С. Эйленберга [2], установившего справедливость неравенства (2) во всем классе R. В. Рогозинский [3] показал, что каждая функция класса Rподчинена (см. Подчинения принцип) нек-рой функции из класса
. Из (2) для
получается точное неравенство
В классе Rполучена следующая оценка модуля функции: если
, то
и равенство в (4) реализуется только функциями
, где
действительное, а
Экстремальных метрик методом была решена задача о максимуме и минимуме
в классе
функций из
с фиксированным значением
в разложении (1): для
справедливы точные неравенства
где функции
отображают круг
на области, симметричные относительно мнимой оси плоскости w, границы к-рых принадлежат объединений замыканий нек-рых траекторий или ортогональных траекторий квадратичного дифференциала на плоскости w в расположении нулей и полюсов к-рого имеется определенная симметрия (см. [4], [5]). Нек-рые окончательные результаты для функций класса R~ (с) были получены одновременным использованием метода экстремальных метрик и метода симметризации (см. [4])
Большое число результатов для функции классов
является следствием соответствующих результатов для систем функций, отображающих круг
на взаимно неналегающие области (см. [6]). Аналогом класса Rдля конечно связной области G, не имеющей изолированных граничных точек и не содержащей точки
является класс
функций
регулярных в G и удовлетворяющих условиям
,
- любые точки области G. Класс
расширяет класс
функций
, регулярных в б и таких, что
в области G. Распространением результата Бибербаха - Эйленберга и неравенства (3) на функции класса
является следующая точная оценка: если
то
где
- та из функций класса
для к-рой
в этом классе.
Лит.: [1] Bieberbach L., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 153-72; [2] Eilenberg S., "Fundam. math.", 1935, v. 25, p. 267-72; [3] Rogosinski W., "J. London Math. Soc.", 1939, v. 14, № 1, p. 4-11; [4] Дженкинс Д ж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [5] Jеnkins J. A., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1965, v. 119, № 2, p. 195-215; [6] Лебедев Н. А., Принцип площадей в теории однолистных функций, М., 1975.
Г. В. Кузьмина.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.