- БИБЕРБАХА МНОГОЧЛЕНЫ
экстремальные многочлены, приближающие функцию, к-рая отображает конформно данную односвязную область на круг. Впервые были рассмотрены Л. Бибербахом, [1] в связи с задачей о приближенном вычислении конформно отображающей функции.
Пусть односвязная область Gрасположена в конечной части плоскости и ограничена кривой Г, а функция
отображает эту область конформно и однолистно на круг
при условиях
, где
- произвольная фиксированная точка области
и
зависит от
. Многочлен
, минимизирующий интеграл
в классе всех многочленов
степени
при условиях
, наз. многочленом Бибербаха. В классе всех функций, аналитических в области Gи удовлетворяющих тем же условиям, этот интеграл минимизируется отображающей функцией
. Если контур
- жорданова кривая, то последовательность
сходится к функции
равномерно внутри области G. В замкнутой области
сходимости может и не быть (см. [2]). Если же контур Г удовлетворяет нек-рым дополнительным условиям гладкости, то последовательность
сходится равномерно в замкнутой области, причем скорость сходимости зависит от степени гладкости кривой Г.
Лит.:[1] Bieberbach L., Circolo mat. Palermo", v. 38, 1914, p. 98-112: [2] Келдыш М. В., "Матем. сб.", 1939, т. 5(47), в. 2, с. 391-401; [3] Мергелян С. Н., Некоторые вопросы конструктивной теории функций, М., 1951; [4] Суетин П. К., "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1971, т. 100.
П. К. Суетин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.