РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД

функциональный ряд

(1)

с (вообще говоря) комплексными членами, сходящийся на множестве X, и такой, что для любого e>0 существует номер n_e , что для всех n>n_e и всех выполняется неравенство

где

и

Иными словами, последовательность частичных сумм s_n (х).является равномерно сходящейся последовательностью. Определение Р. с. р. равносильно выполнению условия

что означает равномерную сходимость к нулю на множестве Xпоследовательности остатков

ряда (1).

Пример. Ряд

равномерно сходится на каждом конечном круге комплексной плоскости и не сходится равномерно на всем множестве С комплексных чисел.

Условие равномерной сходимости ряда (1) на множестве Xбез использования понятия суммы ряда дает Ноши критерий равномерной сходимости ряда. Достаточное условие равномерной сходимости ряда дается Вейерштрасса признаком.

Ряд наз. правильно сходящимся на множестве X, если существует такой числовой ряд , что для всех n=1, 2,. . . и всех выполняется неравенство

т. е. если ряд (1) удовлетворяет условиям признака Веяорштрасса равномерной сходимости рядов. В силу этого признака правильно сходящийся на множестве Xряд равномерно сходится на этом множестве. Обратное, вообще говоря, неверно; однако во всяком равномерно сходящемся на множестве Xряде можно так объединить следующие друг за другом его члены в конечные группы, что получившийся при этом ряд будет уже правильно сходиться на множестве X.

Имеются признаки равномерной сходимости ряда, аналогичные признакам Дирихле и Абеля для сходимости числового ряда. Эти признаки равномерной сходимости ряда впервые встречаются в работах Г. Харди (G. Hardy). Если в ряде

(2)

функции а _n (х).и b _п (х), n=1, 2, . . ., определенные на множестве X, таковы, что последовательность {а _п (х)}монотонна при каждом и равномерно стремится к нулю на X, а последовательность частичных сумм ( В _п (х)}ряда Sb_n (х). равномерно ограничена на множестве X, то ряд (2) равномерно сходится на этом множестве.

Если последовательность {а _п (х)}равномерно ограничена на множестве Xи монотонна при каждом фиксированном , а ряд Sb _п (х).равномерно сходится на множестве X, то ряд (2) также равномерно сходится на X.

Свойства равномерно сходящихся рядов. Если ряды S а _п (х). ^и Sb_n(x). равномерно сходятся на множестве и , то ряд Sla_n(x)+mb_n(x) также равномерно сходится на множестве X.

Если ряд S а _п(x). равномерно сходится на множестве X, ab(x).- ограниченная на этом множестве функция, то ряд S b(x)a _п(x).также равномерно сходится на X.

Непрерывность суммы ряда. Для изучения свойств суммы функционального ряда является полезным понятие "точки равномерной сходимости ряда". Пусть X - топологич. пространство и ряд (1) сходится на X. Точка наз. точкой равномерной сходимости ряда (1), если для любого e>0 существует такая окрестность U=U( х ₀).точки х ₀ и такой номер , что для всех и всех n>n_e выполняется неравенство |r_n(x)|<e.

Если множество X - компакт, то, для того чтобы ряд (1) равномерно сходился на X, необходимо и достаточно, чтобы каждая точка являлась точней его равномерной сходимости.

Если X - топологич. пространство, ряд (1) сходится на X, х ₀ - точка равномерной сходимости ряда (1) и существуют конечные пределы

то числовой ряд Sc_n сходится, сумма s(x) ряда (1) имеет предел при , причем

(3)

т. е. при сделанных предположениях в ряде (1) возможен почленный переход к пределу в смысле формулы (3). Отсюда следует, что если ряд (1) сходится на X, его члены непрерывны в точке равномерной сходимости , то его сумма также непрерывна в этой точке:

Поэтому если ряд непрерывных функций сходится равномерно на топологич. пространстве, то его сумма непрерывна на этом пространстве. В случае, когда пространство Xявляется компактом и члены ряда (1) неотрицательны на X;то равномерная сходимость ряда (1) является и необходимым условием для непрерывности на Xсуммы ряда (1) (см. Дини теорема).

В общем случае необходимым и достаточным условием для непрерывности суммы сходящегося на топологич. пространстве Xряда (1), члены к-рого непрерывны на X, является квазиравномерная сходимость последовательности его частичных сумм s_n (х).к его сумме s(x).(теорема Арцела - Александрова).

Ответ на вопрос о существовании точек равномерной сходимости у сходящихся рядов, непрерывных на отрезке функций, дает теорема Осгуда - Гобсона: если ряд (1) сходится в каждой точке отрезка [ а, b]и члены а _п (х).этого ряда непрерывны на [a, b], то на отрезке [ а, b] существует всюду плотное множество точек равномерной сходимости ряда (1). Отсюда следует, что сумма всякого ряда непрерывных функций, сходящегося на нек-ром отрезке, непрерывна на всюду плотном множестве этого отрезка. Вместе с тем существует и сходящийся во всех точках отрезка ряд непрерывных функций такой, что точки, в к-рых он сходится не равномерно, образуют всюду плотное множество рассматриваемого отрезка.

Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов. Пусть Х=[ а, b]. Если члены ряда

(4)

интегрируемы по Риману (по Лебегу) на отрезке [ а, b], а ряд (4) равномерно сходится на этом отрезке, то его сумма s(x) также интегрируема по Риману (по Лебегу) на [а, b]и для любого имеет место равенство

(5)

причем ряд, стоящий в правой части равенства, сходится равномерно на отрезке [а, b].

В этой теореме нельзя заменить условие равномерной сходимости ряда (4) просто условием его сходимости на отрезке [ а, b], так как существуют сходящиеся на отрезке ряды даже непрерывных функций с непрерывной суммой, для к-рых неверна формула (5). Вместе с тем существуют различные ее обобщения. Ниже приведен результат для интеграла Стилтьеса.

Если g(x) - возрастающая на отрезке [ а, b]функция, а _n (х) - интегрируемы по Стилтьесу относительно функции g(x), ряд (4) сходится равномерно на отрезке [ а, b], то сумма s(x).ряда (4) также интегрируема по Стилтьесу относительно функции g(x).

и ряд, стоящий в правой части равенства, сходится равномерно на отрезке [а, b].

Обобщается формула (5) и на функции многих переменных.

Условия почленного дифференцирования рядов в терминах равномерной сходимости. Если члены ряда (4) непрерывно дифференцируемы на отрезке [ а, b], ряд (4) сходится в нек-рой точке этого отрезка, а ряд, составленный из производных членов ряда (4), равномерно сходится на [ а, b], то сам ряд (4) также равномерно сходится на отрезке [ а, b], а его сумма s(x).непрерывно дифференцируема на нем и

(6)

В этой теореме условие равномерной сходимости ряда, получающегося из данного почленным дифференцированием, нельзя заменить просто условием его сходимости на отрезке [ а, b], так как существуют равномерно сходящиеся на отрезке ряды непрерывно дифференцируемых функций, для к-рых ряды, получающиеся из них почленным дифференцированием, сходятся на отрезке, однако сумма исходного ряда либо недифференцируема на всем рассматриваемом отрезке, либо дифференцируема, но ее производная не равна сумме ряда из производных.

Таким образом, наличие свойства равномерной сходимости у рядов, так же как и свойства абсолютной сходимости (см. Абсолютно сходящийся ряд), позволяет перенести на эти ряды нек-рые правила действия с конечными суммами: равномерная сходимость - возможность почленно переходить к пределу, почленно интегрировать и дифференцировать ряды (см. формулы (3) - (6)), а абсолютная сходимость - возможность переставлять члены ряда в любом порядке без изменения его суммы и перемножать ряды почленно.

Свойства абсолютной и равномерной сходимости функциональных рядов независимы друг от друга. Так, ряд

поскольку все его члены не отрицательны, абсолютно сходится на всей числовой оси, но заведомо точка x=0 не является его точкой равномерной сходимости, т. к. его сумма

разрывна в этой точке. Ряд

равномерно сходится на всей действительности оси, но не сходится абсолютно ни в какой ее точке.

Лит. см. при ст. Ряд. Л. Д. Кудрявцев.