Ряд в математике

Содержание. 1) Определение. — 2) Число, определяемое рядом. — 3) Сходимость и расходимость рядов. — 4) Условная и абсолютная сходимость. — 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды.

1. Определения. Р. есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Р., то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Р. По свойству элементов различают Р. чисел, Р. функций и Р. действий. Приведем несколько примеров.

1, 2, 3, 4,..., n,...

есть Р. натуральных чисел;

1, 4, 9, 16,..., п 2 ...

— Р. квадратов;

а 0, а 1 х, а 2 а 2, ..., а nxn,...

— Р. степенных функций или степенной Р.

Здесь числа a 0, a1, a2,...,an ... написаны по какому-нибудь закону, напр.

1, x, x2/(1.2), x3/(1.2.3),... xn/(1.2...n), ...

или

0, x, x2/2, x3/3, x4/4... (—1)n-1xn/n ..

Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Р. действий. Напр.

√[(35 — 3)/2] = √[32/2] = √16 = 4.

При помощи Р. действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел.

Р. u0, u1, u2,. .. un...

назыв. бесконечным, если после всякого элемента uk найдется элемент uk+1; в противном же случае Р. назыв. конечным. Напр.

1. 2, 3,... 9, 10

есть конечный Р., потому что не существует элементов после элемента 10.

2. Число, определяемое рядом.

Особенное значение имеют бесконечные Р. вида

(1)... а 1/10, а 2/102, ... а n/10n, ...,

где а 1 , а 2 , а 3, ... а n, ... целые положительные числа, a0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а 1 , а 2 , а 3, ... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов.

Р. (1) обозначим для краткости одною буквою а.

Говорят, что а больше рационального числа p/q, если при достаточно большом n имеет место неравенство

а 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + а n/10n > p/q

Если же при всяком n

а 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + а n/10n не > p/q

но при достаточно большом n

а 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + а n/10n > r/s

где r/s произвольно взятое число, меньшее p/q, то считают а равным p/q.

На этом основании Р.

9/10, 9/102, 9/103,...

равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1.

Если а не равно 9, а все последующие числа

ak+1, ak+2, ak+3, ... равны 9, то число а, определяемое Р. (1), равно

а 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + (а k + 1)/10k.

Если же не все числа а k+1, а k+2, а k+3 ...равны 9, то

а = а 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + а k/10k

Может случиться, что все элементы ряда (1), начиная с а k+1, равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определением

а < а 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + (а k +1)/10k

Такого рода число наз. конечною десятичною дробью.

Из арифметики известно, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается конечная дробь или бесконечная периодическая. Всякая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь. Отсюда следует, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не может равняться рациональному числу и потому представляет число особого рода, называемое иррациональным (см.).

3. Сходимость и расходимость рядов. Р. чисел

(2)... u0, u1, u2,. .. un,...

наз. сходящимся, если существует такое число а (рациональное или иррациональное), что при возрастании n численное значение разности

а — (u0 + u1 + u2 +... un—1)

становится и остается сколь угодно малым. Такое число a наз. суммою Р. В этом случае пишут

(3)... а = u0 + u1 + u2 +...

и это равенство наз. разложением числа a в бесконечный Р. Если такого числа а не существует, то Р. (2) наз. расходящимся.

Важнейший пример сходящегося Р. представляет геометрическая прогрессия (см.).

1, q, q2,...,

знаменатель которой q по численному значению меньше единицы. В этом случае имеет место разложение

1/(1 — q) = 1 + q + q2 +...

Примером расходящегося Р. может служить

1/1, 1/2, 1/3,...

Этот Р. наз. гармоническим, так как каждые три его последовательных члена образуют гармоническую пропорцию (находятся в гармоническом отношении; см.). Выражение

1 + 1/2 + 1/3 +...

не имеет никакого смысла.

Если же члены гармонического Р. взять попеременно со знаками + и —, то получим сходящийся Р. Выражение

1 — 1/2 + 1/3 — 1/4 +...

равно логарифму 2, взятому при основании е (см.).

Не имея возможности излагать подробно признаки сходимости, отметим только следующие теоремы.

Данный Р. — сходящийся, если Р. модулей (см.) его членов сходящийся.

Р. v0, —v1, v2, —v3...,

в котором числа v0, v1, v2, v3. .. положительные, сходящийся, если при возрастании n

lim vn = 0.

Р. с положительными членами

u0, u1, u2,..., un, ...

сходящийся, если

lim(un + 1)/un < 1

этот ряд расходящийся, если

lim(un + 1)/un > 1

Если для Р. с положительными членами

но, и 0 , и 1, u2,.., и n ...

отношение

lim(un + 1)/un = 1 — r/n + θ (n)/n α,

где r не зависят от n, α > 1 и θ (n) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Р. сходящийся при r > 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d'une variable", p. 84).

4. Условная и абсолютная сходимость. Если Р. (4) v0, v1, v2,... vn,...

сходящийся, но Р. модулей его членов расходящийся, то говорят, что Р. (4) условно сходящийся. Напр.

1, —1/2, 1/3, —1/4,...

Р. наз. абсолютно сходящимся, если Р. модулей его членов сходящийся.

Сумма условно-сходящегося Р. изменяется с изменением порядка его членов. Напр.

1 — 1/2 + 1/3 — 1/4 +... = log2,

но 1 — 1/2 — 1/4 + 1/3 — 1/6 — 1/8 +...

= 1/2 — 1/4 + 1/6 — 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Сумма абсолютно-сходящегося Р. не зависит от порядка его членов.

Если числа а и b разлагаются в абсолютно-сходящиеся Р.

а = a0 + a1 + a2 +.....,

b = b0 + b1 + b2 + ......,

то Р.

a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b2 + a2b0, ...

абсолютно-сходящийся и, кроме того,

a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b2 + a2b0) +... = аb.

5. Равномерная сходимость. Предположим, что дан Р.

(5)... f0(x), f1(x), f2(x),..., fn(x), ...

члены которого суть функции от одной переменной x, которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х, при которых этот Р. сходящийся, образует так называемую область сходимости.

Р. 1, х, 1.2x2, 1.2.3x3,. ......,

сходящийся только при x = 0.

Р. 1, х, (1/2 + 1.2x2), (1/3 + 1.2.3x3), ...

расходящийся при всяком х.

Р. 1, х/ 1, (x2/1.2), (x3/1.2.3), ...

сход. при всяком значении х. Если степенной Р. α 0, α 1x, α 2x2, ...

сход. при каком-нибудь значении х, не равном нулю, то этот Р. сход. и при всяком x, модуль которого меньше некоторого числа R. Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Р. есть круг радиуса R.

Примером может служить геометрическая прогрессия

1, x, x2, x3, ...., у которой радиус круга сходимости равен единице.

Если х принадлежит к области сход. Р. (5), то при всяком n, большем некоторого числа т

mod [fn(x) + fn+1(x) + fn+2(x) +...] < ε, где ε — данное положительное число сколь угодно малое.

Вообще т зависит от х и от ε, но возможно, в особых случаях, что т зависит только от ε, если значения х принадлежат к некоторой области (S). В таком случае Р. (5) наз. равномерно-сходящимся в области (S).

Для примера рассмотрим Р.

(6)... (1 — х), х (1 — х), х 2(1 — х) ....

ограничиваясь вещественными и положительными значениями х.

Этот Р. сход. при при x меньше или = 1

Для того, чтобы имело место неравенство

(7)... х n(1 — x) + xn+1(1 — x) +... < ε или xn < ε,

надо взять n > Log ε /Logx

След., в рассматриваемом случае

т = Log ε /Logx.

Как видим, т зависит от х. Как бы велико ни было m, найдутся такие значения х в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n, большем т. Если х = 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1

Это доказывает, что рассматриваемый Р. неравномерно сход. в промежутке между 0 и 1.

Предположим, что

0 < x < (1 — α), где α произвольная положит, правильная дробь. Мы удовлетворим неравенству (7), полагая

т = Log ε /Log (1 — α) и n больше или = m

След. Р. (6) равномерно сход. в промежутке (0, 1 — α).

Если в области равномерной сходимости члены ряда

f0(x), f1(x), f2(x) ...

суть непрерывные функции от x, то и сумма этого Р. — непрерывная функция (см. Разрывность).

Равномерно сход. Р. можно почленно интегрировать или дифференцировать.

Вопрос об интегрировании Р. излагается во всяком курсе интегрального исчисления. Что же касается до дифференцирования Р., то об этом см. в сочинениях Вейерштрасса: "Mathematische Werke", 2-й том ("Abhandlungen", II, стр. 205—208).

Степенные Р.

a0, а 1 х, а 2 х 2 ...

обладают равномерною сходимостью внутри круга сходимости.

6. Разложение функций в ряды. В дальнейшем будем предполагать, что независимая переменная вещественная. При помощи формулы Маклорена (см.) получаются следующие разложения:

b54_518-1

(эти формулы справедливы при всяком x).

b54_518-2

Для того, чтобы при помощи формулы (9) вычислить, напр., cos 2°, надо вместо x подставить отношение к радиусу длины дуги, содержащей 2 градуса.

В форм. (11) логарифм взят при основании е. Эта форм. неудобна для вычисления логарифмов, так как надо брать очень много членов Р. для получения даже незначительной точности. Более удобна для вычисления формула 13-я, которая выводится из формулы (11), полагая

(1 + х)/(1 — х) = (a + z)/z

в разложении функции log(1 + x) — log(l — x).

Полагая а = 1, z = 1, найдем log2;

" а = 1, z = 1, " log5;

а + z = 34, а = 80, " log3;

а + z = 74, а = 2400, " log7;

и т. д.

Умножив найденные натуральные логарифмы этих чисел на

М= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

получим обыкновенные логарифмы (при основании 10) тех же чисел (см.).

Форм. (12) справедлива при х = 1, если m > —1, и при x = —1, если m > 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245).

При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Р. рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр.

1/(1 + 2t + 5t3 + 3t3) = y0 + y1t + y2t2 + y3t3 +...,

получим

y0 = 1, y1 + 2y0 = 0, y2 + 2y1 + 5y0 = 0,

y3 + 2y2 + 5 у 1 + 3 у 0 = 0,

y4 + 2y3 + 5 у 2 + 3 у 1 = 0 и т. д.

Р. коэффициентов y 0, у 1, y2 ... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением yn+3 + 2yn+2 + 5 у n+1 + 3 у n = 0.

Такого рода Р. наз. возвратными. Из написанных уравнений последовательно определяется y 0, у 1, y2 ...

Разложение данной функции в Р. найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Р. производной. Таким путем получаются разложение

(14)... arctgx = x — (x3/3) + (x5/5) —...

(15)... arcsin х = x/1 + 1/2(x3/3) + (1.2/2.4)(x5/5) + ...

справедливые для значений х, удовлетворяющих условиям

b54_518-3

Здесь arctg х и arcsinx обозначают числа, которые лежат между —π/2 и π/2 и tg или sin которых равен x.

Р. (14) при помощи формулы Мэчена (Machin)

π /4 = 4arctg(1/5) — arctg(1/239)

дает возможность очень быстро вычислить π с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил π с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Р. и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии.

Д. С.