ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ

ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ

, аксиома параллельности Евклида,- через точку Рвне прямой АА' в плоскости, проходящей через Ри АА', можно провести лишь одну прямую, не пересекающую АА'. В "Началах" Евклида П. п. был приведен в следующей эквивалентной формулировке: "И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых" (см. [1]). У комментаторов Евклида возник взгляд, что это предложение можно доказать, опираясь на остальные аксиомы. Попытки доказательств возникли еще в Древней Греции. Эти попытки продолжались на Средневековом Востоке, а затем в Западной Европе. Если не говорить о прямых логич. ошибках, то обычно неявно (а иногда и с отчетливым пониманием) вводилось предположение, не выводимое из остальных аксиом, к-рое оказывалось таким образом эквивалентным П. п. Напр., расстояние между параллелями ограничено, пространство допускает "простое" (поступательное) движение (все траектории - прямые линии), две сближающиеся прямые всегда пересекаются, существуют подобные не равные фигуры, сумма углов треугольника равна двум прямым и др. Дж. Саккери (G. Saccheri, 1733) рассматривал четырехугольник с прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Ранее такой четырехугольник рассмотрел Омар Хайям (11-12 вв.). Из трех возможных гипотез об остальных двух равных углах (они тупые, они острые, они прямые) он стремился отвергнуть две первые, т. к. из третьей вытекал П. п. Дж. Саккери удалось привести к противоречию следствия из первой гипотезы, но он совершил логич. ошибку в опровержении гипотезы острого угла. И. Ламберт (J. Lambert, 1760, опубл. 1786) при аналогичном подходе опровергнул гипотезу острого угла, тоже совершив при этом серьезную ошибку. Он высказал предположение, что такая геометрия осуществляется на мнимой сфере. А. Лежандр (A. Legendre, 1800) в первых изданиях учебника "Элементы геометрии" исходил из суммы Sуглов треугольника. Опровергнув гипотезу S > 2d, он допустил ошибку при выводе следствий из гипотезы S < 2d, а именно, он неявно ввел аксиому, что для любой точки внутри острого угла существует прямая, проходящая через эту точку и пересекающая обе стороны угла. Решение проблемы П. п. (точнее ее снятие) было получено путем создания Н. И. Лобачевским (1826) геометрии, отрицающей П. п. Из непротиворечивости Лобачевского геометрии следует независимость П. п. от др. аксиом евклидовой геометрии.

Лит.;[1] Начала Евклида, пер, с греч,, т. 1^3, М,- Л., 1948-50; [2] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М.- Л,, 1949; [3] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; [4] Об основаниях геометрии. Сб. классических работ по геометрии Лобачевского..., М., 1956; [5] Розен фольд Б. А., История неевклидовой геометрии, М., 1978.

Б. Л. Лаптев


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ" в других словарях:

  • Пятый постулат — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и …   Википедия

  • Пятый постулат Евклида — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и …   Википедия

  • Постулат Евклида о параллельных — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и …   Википедия

  • Постулат — Аксиома (др. греч. ἀξίωμα утверждение, положение) или постулат  утверждение (факт), принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств. Слово «аксиома», кроме того, имеет значения: перен. то, что не… …   Википедия

  • Аксиома параллельности Евклида — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат  одна из аксиом, лежащ …   Википедия

  • НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… …   Энциклопедия Кольера

  • Проблема параллельных — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и …   Википедия

  • Пятая аксиома в евклидовой геометрии — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и …   Википедия

  • ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР — Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… …   Энциклопедия Кольера

  • аксиоматический метод —         АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) принятое положение способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»