ПФАФФА УРАВНЕНИЕ

ПФАФФА УРАВНЕНИЕ

- уравнение вида

(1)

где - дифференциальная 1-форма, функции aj(x), j=1,. . ., п., действительнозначны. Пусть aj(x) С 1 (О).и векторное поле а(х)=( а 1 (х),. . ., а n (х)).не имеет критич. точек в области D.

Многообразие размерности и класса С 1 наз. интегральным многообразием П. у. (1), если на Mk. П. у. наз. вполне интегрируемым, если через каждую точку области Dпроходит интегральное многообразие максимально возможной размерности n-1 и притом только одно.

Теорема Фробениуса: для того чтобы П. у. (1) было вполне интегрируемым, необходимо и достаточно выполнение условия

(2)

В этом случае интегрирование П. у. сводится к интегрированию семейства систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В трехмерном евклидовом пространстве П. у. имеет вид

(3)

где Р, Q, R - функции от х, у, z, а условие (2) полной интегрируемости принимает вид

(4)

или

(rot F, F)=0, где F =(P, Q, R).

В этом случае существуют гладкие функции m, U такие, что


и интегральные поверхности П. у. (3) задаются уравнениями U( х, у,z)=const. Если Fесть нек-рое силовое поле, то поле m-1F имеет потенциальную функцию, равную U. Если П. у. (3) не вполне интегрируемо, то оно не имеет интегральных поверхностей, но может иметь интегральные кривые. Если заданы произвольные функции x=x(t), y=y(t), то (3) будет обыкновенным дифференциальным уравнением для z и кривая x=x(t), y=y(t), z=z(t).будет интегральной.

Постановка задачи об исследовании уравнения (1) для произвольного и о приведении дифференциальной 1-формы w к канонич. виду принадлежит И. Пфаффу [1]. Условие (4) впервые было получено Л. Эйлером в 1755 (см. [2] гл. IX).

Локально любое П. у. с помощью гладкой замены переменных приводится к виду

(5)

где у 0,. . ., у р, z1,. . ., zp - новые независимые переменные . Число 2р+1 наз. классом П. у.; здесь р- наибольшее число такое, что дифференциальная форма степени 2p+l не равна тождественно нулю. При р=0 П. у. вполне интегрируемо. Функции у 0 (х),. . ., y р (х).наз. первыми интегралами П. у. (о), а его интегральные многообразия максимально возможной размерности п-р-1 задаются уравнениями


Системой Пфаффа наз. система уравнений вида

(6) где - дифференциальные 1-формы:


Ранг rматрицы ||wjk (х)||наз. рангом системы Пфаффа в точке х. Система Пфаффа наз. вполне интегрируемой, если через каждую точку проходит интегральное многообразие максимально возможной размерности п-r и притом только одно.

Теорема Фробениуса: для того чтобы система Пфаффа (6) была вполне интегрируемой, необходимо и достаточно выполнение условий


Задача об интегрировании любой конечной нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании нек-рой системы Пфаффа (см. [6]).

Получен ряд результатов по аналитич. теории систем Пфаффа. Рассматривалась вполне интегрируемая система Пфаффа


из туравнений, где р, q - положительные целые числа, а вектор-функции f( х, у, z), g(x, у,z) голоморфны в точке х=0, у=0, z=0;указаны достаточные условия существования голоморфного в начале координат решения (см. [7]), приведены обобщения на большее число независимых переменных.

Лит.: [1] Рfaff J. F., "Berl. Abh.", 1814-1815, S. 76-135; [2] Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, пер. с лат., М.- Л., 1949; [3] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; t4] Богданов Ю. <С., Лекции по дифференциальным уравнениям, Минск, 1977; [5] Картан Э., Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения, пер. с франц., М., 1962; [6] Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М.- Л., 1947; [7] Equations differentielles et systemes de Pfaff dans le champ complexe, В., 1979. М. В. Федорюк.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПФАФФА УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • ПФАФФА ПРОБЛЕМА — проблема описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы Пфаффа уравнений (*) задаваемой набором из qдифференциальных 1 форм в нек рой области (или на нек ром многообразии), линейно независимых в каждой точке.… …   Математическая энциклопедия

  • Пфаффа уравнения —         уравнения вида          X1dx1 + X2dx2 + ... + Xndxn = 0, (1)         где X1, X2, ..., Xn заданные функции независимых переменных x1, x2, ..., xn. Изучались И. Ф. Пфаффом (1814 15). Решение уравнения (1) состоит из соотношений         … …   Большая советская энциклопедия

  • МОНЖА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение вида Г. Монж (G. Monge, см. [1]) изучал такие уравнения в связи с построением геометрич. теории дифференциальных уравнений с частными производными 1 го порядка. Частным случаем М. у. является Пфаффа уравнение. Напр.,… …   Математическая энциклопедия

  • Пфаффово уравнение — уравнение вида , где дифференциальная 1 форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия размерности . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа. Если на многообразии введены (локальные) координаты …   Википедия

  • ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ — градиентное поле, векторное поле, образованное градиентами гладкой скалярной функции f(t). нескольких переменных t=(t1, ... , tn), принадлежащих нек рой области Т n мерного пространства. Функция f(t). наз. скалярным потенциалом (потенциальной… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ — раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией. К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского,… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность в (n+1) мерном пространстве, заданная уравнением и=j(x1, ..., х п), где функция и=j( х 1,..., х п )является решением дифференциального уравнения С частными производными. Напр., рассмотрим линейное однородное уравнение 1 го порядка… …   Математическая энциклопедия

  • Гаусс — (Carl Friedrich Gauss) знаменитый немецкий математик. Род. 28 апреля 1777 года в Брауншвейге и с раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности. Рассказывают, что, будучи трех лет, Г. решал числовые задачи и любил чертить… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»