ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ

размерности n - гомоморфизм алгебры Анад полем Fв алгебру матриц М n(F), т. е. сопоставление каждому квадратной матрицы Т(а).порядка п, при к-ром


где . Обычно требуется также, чтобы единице алгебры Асоответствовала единичная матрица; иногда требуется, чтобы и сама алгебра Абыла конечномерной.

Всякое неразложимое представление полупростой алгебры эквивалентно прямому слагаемому регулярного представления. Таким образом, всякая полупростая алгебра является алгеброй конечного (представленческого) типа, т. е. имеет конечное число неизоморфных неразложимых представлений. Неполупростые алгебры могут быть как конечного, так и бесконечного представленческого типа (такова, напр., А={1,r,s|r2=s2=rs=sr=0}). Алгебры бесконечного типа принято делить еще на алгебры дикого типа, задача классификации к-рых содержит в себе классич. нерешенную задачу о паре матриц (т. <е. задачу об одновременном приведении к канонич. форме двух линейных операторов в конечномерном пространстве), и алгебры ручного типа.

Основными вопросами, изучаемыми в теории П. а. а., являются получение необходимых и достаточных условий, при к-рых алгебра принадлежит одному из перечисленных типов, и классификация неразложимых представлений в конечном и ручном случаях. В общем случае эти задачи не решены. Описание алгебр конечного и ручного типа и их представлений получено для алгебр, у к-рых квадрат радикала равен нулю (см. [2], [4], [8]-[10]). Решены проблемы Брауэра - Трэлла, т. <е. доказано, что над любым полем алгебра бесконечного типа имеет неразложимые представления сколь угодно большой размерности, а над совершенным полем имеется бесконечно много размерностей, в каждой из к-рых имеется бесконечно много неразложимых представлений (см. [5], [7]). Любая алгебра конечного типа над алгебраически замкнутым полем имеет мультипликативный базис, т. е. базис, у к-рого произведение любых двух его элементов либо равно нулю, либо принадлежит этому базису [6]. Полностью решен вопрос о разделении групповых алгебр на ручные и дикие [1].

С П. а. а. тесно связаны представления нек-рых других объектов: колчанов, частично упорядоченных множеств, решеток, боксов.

Лит.:[1] Бондаренко В. М., Дрозд Ю. А., "Записки научных семинаров ЛОМИ", 1977,-т. 71, с. 24-41; [2] Кругляк С. А., там же, 1972, т. 28, с. 60-69; [3] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [4] Назарова Л. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1973, т. 37, № 4, с. 752-91; [5] Назарова Л. А., Ройтер А. В., Категорные матричные задачи и проблема Брауэра - Трэлла, К., 1973; [6] Ройтер А. В., Обобщение теоремы Бонгартца, К., 1081; [7] его ж е, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, с. 1275-1282; [8] Dlab V., Ringe1 С., Indecomposable representations of graphs and algebras, Prowidence, 1976; [9] DоnovanP., Freislich M. R., The representation theory of finite graphs and associated algebras, [s. I., 1974]; [10] Gabriel P., "Manus. Math.", 1972, v. 6, № 1, p. 71-103.

A. B. Рoйmep.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АССОЦИАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ" в других словарях:

  • КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с двумя бинарными операциями, к рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и… …   Математическая энциклопедия

  • Универсальная обёртывающая алгебра — В математике, для любой алгебры Ли L можно построить её универсальную обёртывающую алгебру U(L). Эта конструкция приводит от неассоциативной структуры L к (более привычной, и возможно более простой в обращении) унитарной ассоциативной алгебре,… …   Википедия

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия

  • ХАРАКТЕР — представления p ассоциативной алгебры А функция j на алгебре А, определенная формулой для где линейный функционал, определенный на нек ром идеале I в алгебре и удовлетворяющий условию для всех Если представление конечномерно или если алгебра… …   Математическая энциклопедия

  • ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ТЕОРИЯ — теория, изучающая гомоморфизмы полугрупп (в частности, групп), алгебр или других алгебраич. систем в соответствующие системы эндоморфизмов нек рой подходящей структуры. Особенно часто рассматриваются линейные представления, т. е. гомоморфизмы… …   Математическая энциклопедия

  • ХАРАКТЕР — представления группы G в случае конечномерного представления функция на группе G,определяемая формулой Для произвольных непрерывных представлений топологич. группы G над полем С это определение обобщается следующим образом: где линейный… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — над полем k алгебра Ли элементы к рой являются линейными преобразованиями нек рого векторного пространства Vнад k; сложение элементов и их умножение на элементы из k определяются обычным образом, а коммутатор [ х, у]элементов х, . задается… …   Математическая энциклопедия

  • ОБОБЩЕННОГО СДВИГА ОПЕРАТОРЫ — гипергруппа, понятие, возникшее в результате аксиоматизации нек рых свойств операторов сдвига в пространствах функций на группе. В терминах операторов группового сдвига можно сформулировать такие важные математич. понятия как свертка, групповая… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ АЛГЕБРА — лиева алгебра, унитарный k модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) ( х,[ у,… …   Математическая энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО НАД АЛГЕБРОЙ — пространство, обладающее дифференциально геометрической структурой, точки к рого могут быть снабжены координатами из нек рой алгебры. В большинстве случаев алгебра предполагается ассоциативной с единицей, иногда альтернативной с единицей (см.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»