- ПОДПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
алгебраических систем - специальный тип подсистем прямого (декартова) произведения систем. Пусть
,- семейство однотипных алгебраич. систем и пусть А ==
- прямое произведение этих систем с проекциями
. Алгебраич. система Втого же типа паз. подпрямым произведением систем АI, если существует такое вложение
, что гомоморфизмы
, сюръективны. Иногда под П. п. понимается любая система, изоморфная подсистеме прямого произведения: тогда системы, удовлетворяющие сформулированному выше условию, наз. специальными подпрямым и произведениями. В теории колец и в теории модулей П. п. наз. также нодпрямой суммой. Подпрямое произведение (подпрямую сумму) обозначают
(
соответственно).
Следующие условия равносильны: а) система Вявляется П. п. систем
; б) существует разделяющее семейство сюръективных гомоморфизмов
; в) существует такое семейство конгруэнции
, системы В, что пересечение этих конгруэнции является единичной конгруэнцией и
для каждого
. Всякая универсальная алгебра является П. п. подпрямо неразложимых алгебр.
С теоретико-категорной точки зрения понятие П. п. двойственно понятию правильного произведения алгебраич. систем с нулевыми (одноэлементными) подсистемами, м. Ш. Цаленко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.