ПОГРУЖЕНИЕ

иммерсия,- отображение одного топологич. пространства в другое, при к-ром каждая точка в Xимеет окрестность U, к-рую f гомеоморфно отображает на fU. Это понятие применяется главным образом к отображению многообразий, где часто дополнительно требуется еще выполнение условия локальной плоскости (такое же, как и для локально плоского вложения). Последнее условие автоматически выполнено, если многообразия Xи Yявляются дифференцируемыми, и матрица Якоби отображения f имеет в каждой точке максимальный ранг, равный размерности X. Задача классификации П. одного многообразия в другое с точностью до т. н. регулярной гомотопии сведена к чисто гомотопич. задаче. Гомотопия наз. регулярной, если для каждой точки она может быть продолжена до изотонии, где U - окрестность х, D^k- диск размерности k=n-m, и F_t совпадает с f_t на , где 0 - центр диска. В дифференцируемом случае достаточно потребовать, чтобы матрица Якоби имела максимальный ранг при каждом tи непрерывно зависела от t. Дифференциал D_f П. определяет послойный мономорфизм касательного расслоения tX в касательное расслоение tY. Регулярная гомотопия определяет гомотопию таких мономорфизмов. Оказывается, что этим устанавливается биекция между классами регулярных гомотопии и гомотопич. классами мономорфизмов расслоений.

Задача П. в евклидовы пространства сводится к задаче гомотопич. классификации П. в Штифеля многообразия V_n,m. Напр., так как p₂(V_3,2)=0, то имеется только один класс П. сферы S² в , так что стандартное вложение регулярно гомотопно своему зеркальному отражению (сферу можно "регулярно вывернуть наизнанку", см. рис.). Так как , то имеется счетное число классов П. окружности в плоскость, а т. к. расслоение Штифеля над S² гомеоморфно проективному пространству и p₁ ()=, то имеется только два класса погружений S¹ в S², и. <т. д.

А. В. Чернавский.