ПОГРУЖЕНИЕ

многообразия - непрерывное отображение m-мерного многообразия М ^т в n-мерное многообразие Nⁿ такое, что для каждой точки существует окрестность U_x, для к-рой Fесть вложение, т. е. гомеоморфизм на В частности, если Fесть гомеоморфизм на F(M^m), то он наз. вложением М ^т в Nⁿ. Погружение F наз. С ^l,a - погружением, если М ^т и Nⁿ суть С ^l,a -гладкие многообразия () и отображение Fв соответствующих картах задается функциями

принадлежащими классу гладкости С ^l,a, а ранг матрицы равен тв каждой точке гладкое многообразие - многообразие, наделенное Г-структурой, где псевдогруппа состоит из lраз дифференцируемых отображений, производные к-рых удовлетворяют условию Гёльдера с показателем a).

К понятию П. и С ^l,a - гладкого П. непосредственно примыкают понятия поверхности и С ^l,a - гладкой поверхности. Погружения Fи Gмногообразия Мв Nназ. эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм , что F=GФ.

Погруженным многообразием наз. пара, состоящая из многообразия Ми его погружения F. m -мерной поверхностьюв n-мерном многообразии Nⁿ наз. класс эквивалентных погружений ; каждое П. этого класса наз. параметризацией поверхности. Поверхность наз. С ^l,a -гладкой, если на многообразиях Ми Nможно ввести С ^l,a -структуры и если среди параметризаций поверхности найдется такая параметризация F, к-рая в ятих структурах есть С ^l,a -погружение.

Теория погруженных многообразий, как правило, особенно в тех случаях, когда рассматриваются вопросы, связанные с геометрией П., изучает свойства, инвариантные относительно введенного выше понятия эквивалентности, и по существу совпадает с теорией поверхностей.

Пусть М ^т есть С ^l,a -многообразие, Всякое М ^т допускает при вложение в евклидово пространство и С ^l,a -погружение в R^2m-1 при . Если тположительно и не является степенью двойки, то всякое М ^т допускает С ^l,a -вложение в , в то же время при любом m=2^s с существуют замкнутые гладкие m-мерные многообразия, не допускающие даже топологич. вложения в (таково, напр., проективное пространство). Если М ^т не имеет компактных компонент, то оно допускает С ^l,a -вложение в

Ориентируемое m-мерное многообразие при допускает С ^l,a -вложение в . Вопрос о возможности погружения m-мерного многообразия в при п<2т-1 связан с классами Уитни и Понтрягина классами этого многообразия. Известно также, что каждое С ^la -гладкое m-мерное многообразие с допускает собственное (т. е. такое, что прообраз каждого компактного множества компактен) П. в и собственное вложение в . Если на М ^т задана риманова метрика, то часто рассматривают изометрическое погружение М ^т в или другое риманово пространство N". С ^l,a -гладкое риманово многообразие, , допускает С ^la -гладкое изометрическое П. в нек-рое Rⁿ. В случае компактного М ^т число n=(2m+l)(6m+14). Наоборот, С ^la -гладкое П. в индуцирует на М ^т С ^l,a -гладкую риманову метрику [4].

Лит.:[1] Смейл С., "Успехи матем. наук", 1964, т. 19, в. 1, с. 125-38; [2] Jасоbоwitz H., "Ann. Math.", 1972. v. 95, № 2, p. 191 - 225; [3] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; [4] Сабитов И. X., Шефель С. 3., "Сиб. матем. ж.", 1976, т. 17, №4, с. 914-25. С. 3. Шефелъ.