ПАРАМЕТРИКСА МЕТОД

ПАРАМЕТРИКСА МЕТОД

- один из методов изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью интегральных уравнений.

Пусть в какой-либо области G n -мерного евклидова пространства рассматривается эллиптич. дифференциальный оператор порядка т


В равенстве (1) символом обозначен мультииндекс , где - неотрицательные целые

числа, ,

Каждому оператору (1) сопоставляется однородный эллиптич. оператор


с постоянными коэффициентами, где - произвольная фиксирования точка. Пусть обозначает фундаментальное решение оператора , параметрически зависящее от x0, тогда функция наз. параметриксом оператора (1) с особенностью в точке х 0.

В частности, для эллиптич. оператора 2-го порядка


в качестве параметрикса с особенностью в точке y может быть взята функция Леви:


В равенстве (2) , (у) - определитель матрицы ,


- элементы матрицы, обратной к матрице Пусть - интегральный оператор


действующий на функциях из , и


Поскольку, в силу определения фундаментального решения,


где I - тождественный оператор, то


Это равенство означает, что для каждой достаточно гладкой и финитной в области G функции справедливо представление


и, кроме того, если


то является решением уравнения


Таким образом, вопрос о локальной разрешимости уравнения сводится к вопросу об обратимости оператора

Если применять оператор к функциям j, к-рые обращаются в нуль вне шара радиуса Rс центром в точке x0, то при достаточно малом R норма оператора может быть сделана меньше единицы. Тогда будет существовать оператор и, следовательно, оператор , к-рый является обратным к оператору L(x, D). Оператор Еявляется интегральным оператором, ядро к-рого представляет собой фундаментальное решение оператора L(x, D).

Параметриксом иногда наз. не только функцию , но и интегральный оператор с ядром , определенный равенством (3).

В теории псевдодифференциальных операторов вместо оператора параметриксом оператора L(x, D).наз. оператор Sтакой, что I-L(x, D)Sи I-SL(x, D).являются интегральными операторами с бесконечно дифференцируемыми ядрами. Если же таким оператором является лишь оператор I-SL (или I-LS), то Sназ. левым (соответственно правым) параметриксом оператора L(x, D). Иначе говоря, оператор Sx0 в равенстве (4) является левым параметриксом, если оператор в этом равенстве имеет бесконечно дифференцируемое ядро. Если у оператора L(x, D).существуют левый параметрикс S' и правый параметрикс S", то каждый из этих операторов является параметриксом. Существование параметрикса доказано для гипоэллиптических псевдодифференциальных операторов (см. [3]).

Лит.:[1] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М.., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [2] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3]Xёрмандер Л., в сб.; Псевдодифференциальные операторы, М., 1967.

Т. А. Алимов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ПАРАМЕТРИКСА МЕТОД" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — интегральный оператор, обобщенное ядро к рого является быстроосциллирующей функцией или интегралом от такой функции. Операторы такого типа возникли при исследовании асимптотики быстроосциллирующих решений уравнений с частными производными (см.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»