- БАНАХА - ШТЕЙНХАУЗА ТЕОРЕМА
общее название ряда результатов о топологич. свойствах пространства непрерывных линейных отображений одного линейного топологич. пространства в другое. Пусть
, F - локально выпуклые линейные топологич. пространства, где
- бочечное пространство, или
- линейные топологич. пространства, причем
- Бэра пространство;тогда: 1) любое ограниченное в топологии простой сходимости подмножество пространства
непрерывных линейных отображений пространства
в
равностепенно непрерывно (принцип равномерной ограниченности), 2) если фильтр
в пространстве
содержит множество, ограниченное в топологии простой сходимости, и сходится в топологии простой сходимости к нек-рому отображению vпространства
в
, то
- непрерывное линейное отображение
в
, и фильтр
сходится к
равномерно на каждом компактном подмножестве пространства Е(см. [2, 3]).
Этот общий результат позволяет уточнить классич. результаты С. Банаха и X. Штейнхауза (см. [1]): пусть
- банаховы пространства,
- подмножество второй категории в Е;тогда: 1) если
и
конечен для всех
, то
если
- последовательность непрерывных линейных отображений
в
и последовательность
сходится в
для всех
, то
сходится к непрерывному линейному отображению
пространства
в
равномерно на любом компактном подмножестве пространства
.
Лит.:[1] Banach S., Steinhaus H., "Fundam. math.", 1927, t. 9, p. 50-61; [2] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971. А. И. Штерн.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.