- ОДНОСТОРОННИЕ И ДВУСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ
- два тина поверхностей, различающихся по способу их расположения в объемлющем пространстве (одностороннее расположение и двустороннее расположение). Напр., цилиндр представляет собой двустороннюю поверхность (д. п.), а Мёбиуса лист- одностороннюю поверхность (о. п.). Характерное отличие этих поверхностей - граница цилиндра состоит из двух кривых, а граница листа Мёбиуса из одной кривой. Среди
замкнутых поверхностей двусторонней является сфера и тор, а односторонней - Клейна поверхность. Примерами двустороннего и одностороннего расположения кривой могут служить вложения окружности в лист Мёбиуса. Так, цикл
(см. рис.) является односторонней кривой, а цикл
- двусторонней (и вообще, любой дезориентирующий путь лежит в поверхности односторонне).
Более точно О. и д. п.- два типа многообразий, различающихся способом вложения их в объемлющее пространство (на единицу большей размерности). Дву-сторонность и односторонность связаны с ориентируемостью и неориентируемостью (см. Ориентация), но в отличие от последних не являются внутренними свойствами поверхности и зависят от объемлющего пространства. Так, напр., существуют ориентируемые д. п.:
; неориентируемые д. п.:
; ориентируемые о. п.:
; неориентируемые о. п.:
(здесь
- сфера,
- тор,
- проективная плоскость,
- проективное пространство,
- дезориентирующий путь на
).
В ориентируемом пространстве (напр., в Rn) гиперповерхность является ориентируемой в том и только в том случае, когда она является д. п.
Пусть вдоль замкнутой кривой на гладкой поверхности, погруженной в нек-рое пространство, обносится нормальный вектор так, чтобы он оставался нормальным. Если при возвращении в исходную точку направление нормали совпадает с исходным независимо от выбора кривой, то поверхность наз. двусторонней; в противном случае (когда нормаль окажется противонаправленной исходной) - односторонней. Более общо, двусторонность расположения поверхности П равносильна тривиальности ее нормального расслоения (в таком расслоении существует ненулевое сечение). Наоборот, нормальное расслоение о. п. нетривиально: существует кривая на П, над к-рой расслоение является листом Мёбиуса.
Локально всякая (гипер)поверхность
в пространстве Nn. разбивает его на две части, т. е. для точки
имеется такая окрестность
, что Uсостоит из двух компонент
и
и
принадлежит их общей границе. С другой стороны, достаточно тесная окрестность
в
(если Мзамкнуто в N). имеет либо одну, либо две компоненты, границы к-рых содержат М. В первом случае (гипер) поверхность
также наз. односторонней, а во втором - двусторонней. Таким образом, хотя поверхность локально и имеет две стороны, глобально она может быть о. п. и в противоположность д. п. не разбивать свою окрестность в пространстве.
Для д. п.
, лежащей в
, пересечения индекс в N n + 1 для любой замкнутой кривой
на
удовлетворяет равенству
Если же
- о. п., то
для нек-рой кривой
. Этот факт также можно принять за определение одно- и двусторонности (наряду с обносом нормального вектора и разбиением окрестности).
Лит.:[1] Гильберт Д., Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия, пер. с нем., 3 изд., М., 1981; [2] 3ейферт Г., Трельфалль В., Топология, пер. с нем., М.-Л., 1938; [3] Фукс Д. Б..Фоменко А. Т., ГутенмахерВ. <Л., Гомотопическая топология, 2 изд., [М., 1969]. М. И. Войцеховский.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.