НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

- колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к.

Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия.

Квазилинейные системы - системы (1) при . Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. [1] гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см. [1] гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в [2] - [4].

Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. [5], [6]), метод К-функций (см. [7]), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др.

Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр . Для систем Ляпунова

где

причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. [8] § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо ).

Для систем, близких к системам Ляпунова,

где того же вида, что и в (2), - аналитич. вектор-функция и малого параметра , непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. [4] гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. [9] IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. [9] гл. I, III, IV).

Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части

где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; множество значений вектора с целочисленными компонентамп таково:

Тогда существует нормализующее преобразование:

приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений

и такое, что , если . Таким образом, нормальная форма (5) содержит лишь резонансные члены, т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех , для к-рых выполнено резонансное уравнение

играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. [10] ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. [9] § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. [10], [9] гл. VI-VIII).

Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. [2], [11]), стробосконич. метод [12] и функционально-аналитич. методы [13].

Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [14]). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в [2], [15]. Изучены [16] вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены [13] почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в [17].

Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений теория, Колебаний теория.

Лит.:[1] Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; [2] Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [3] Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; [4] Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: [5] Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; [7] Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; [8] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; [9] Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; [10] Брюно А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; [11] Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; [12] Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; [13] Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; [14] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; [15] Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; [16] Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; [17] Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975.

В. М. Старжинский.