НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ

- теория моделей, отличающаяся от классической тем, что либо формальный язык, с к-рым она имеет дело, отличен от языка первого порядка либо логика, лежащая в ее основе, отлична от классической (двузначной). В дальнейшем, если не оговорено противное, логика считается двузначной.

В теории моделей языка Lнаиболее важными являются следующие проблемы.

а) Аксиоматизируемость множества тождественно истинных формул. Если существует эффективная нумерация формул языка Lнатуральными числами, то проблема уточняется: будет ли множество номеров тождественно истинных формул рекурсивно перечислимым?

б) Язык Lназ. -компактным, если для любого множества высказываний языка Lмощности из выполнимости каждого подмножества мощности следует выполнимость . Проблема компактности состоит в описании пар кардиналов для к-рых Lявляется -компактным.

в) Если формулы языка Lобразуют множество (несобственный класс), то существует такой кардинал а, что всякое множество высказываний языка L, имеющее модель мощности имеет модели сколь угодно больших мощностей. Наименьший такой кардинал наз. числом Ханфа языка L. Для оно равно счетной мощности . Проблема заключается в вычислении числа Ханфа для Lи в установлении условий существования моделей малых мощностей.

Ниже перечислены наиболее изученные неклассич. языки и для каждого из них отмечены нек-рые решения проблем а) - в).

1) Язык логики второй ступени. Он получается из добавлением переменных для предикатов и разрешением навешивания на них кванторов. Высказывание Ф языка наз. истинным в системе (где А- модель сигнатуры Ф, а - множества га-местных предикатов на А), если Ф истинно в Апри ограничении кванторов по n-местным предикатам множествами Если при этом совпадают с множествами всех n-местных предикатов на А, то говорят, что Ф истинно в модели А. Существует высказывание языка характеризующее арифметику натуральных чисел с точностью до изоморфизма. Из Гёделя теоремы о неполноте арифметики следует, что множество высказываний языка истинных во всех моделях, не аксиоматизируемо, вднако существует естественное обобщение аксиоматики исчисления предикатов первой ступени, для к-рого справедлива теорема Хенкина о полноте: из выводимы те и только те высказывания языка , к-рие истинны во всех системах удовлетворяющих аксиомам

В этом случае имеется аналог теоремы Лёвенхейма - Сколема для если высказывание Ф языка истинно вместе с аксиомами в нек-рой системе, то Ф и истинны в системе где не более чем счетные. Нек-рые вопросы теории моделей языка связаны с проблемами теории множеств и неразрешимы в аксиоматике теории множеств Цермело - Френкеля.

2) Язык (- кардиналы). Формулы этого языка строятся из формул языка 1-го порядка с помощью конъюнкций и дизъюнкций множеств формул мощности , отрицания и кванторной приставки по предметным переменным длины . Истинность формулы в модели определяется, аналогично языку 1-го порядка, индукцией по построению формулы. Кардинал наз. компактным, если для любого кардинала язык является-компактным. Среди языков после наиболее изучен Всякую счетную модель счетной сигнатуры можно охарактеризовать высказыванием языка с точностью до изоморфизма. Язык для любого является компактным. Число Ханфа для равно , где определяется индукцией по ординалу и если - предельный ординал.

3)Язык с квантором "существует по крайней мере ". Язык получается из добавлением нового квантора . Истинность формулы определяется индукцией по длине формулы. При этом формула истинна в модели А, если мощность множества не меньше . Пусть обозначает множество формул языка , истинных во всех моделях мощности Множество не аксиоматизируемо,аксиоматизируемо. Язык не -компактен. Однако нек-рая компактность имеет место в языках ,. Пусть означает, что из следует Если то будет -компактным. Число Ханфа для равно .

До сих пор рассматривались модели, в к-рых любое высказывание языка Lсигнатуры а было либо истинным, либо ложным. Рассмотрим теперь модель Асигнатуры , в к-рой n -местные предикаты понимаются не как подмножества , а как отображения в множество X. Если на X определены операции, соответствующие логич. связкам языка Lи кванторам (понимаемым как бесконечноместные операции), то можно определить значение истинности любого высказывания Ф языка Lв модели А. Таким образом, получается теория моделей с множеством значений истинности X. Наиболее плодотворной оказывается теория, когда X- компактное хаусдорфово топологич. пространство или полная булева алгебра. В этих случаях работают многие методы классич. теории моделей. В случае, когда X- полная булева алгебра, конъюнкция, дизъюнкция и отрицание определяются как пересечение, объединение и дополнение соответственно. Значение определяется как пересечение всех элементов вида . Булево-значные модели нашли широкое применение в доказательствах совместности различных предложений теории множеств с основными аксиомами аксиоматич. теории множеств.

Лит.:[1] Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960: [2] Кейслер Г. Д., Чэн Чень-чунь, Теория непрерывных моделей, пер. с англ., М., 1971.

Е. А. Палютин, А. Д. Тайманов.