ЛОКАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- ЛОКАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- часть дифференциальной геометрии, изучающая свойства геометрич. образов, в частности линий и поверхностей, "в малом". Иными словами, строение геометрич. образа изучается в нек-рой малой окрестности произвольной его точки.
Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Е 3 задана кривая 
своим уравнением
Изучение этой кривой сводится к нахождению величин, инвариантных относительно группы движений пространства Е 3. Радиус-вектор r точки Мкривой не является инвариантным, но его производные
инвариантны. Дифференциальной окрестностью n-го порядка точки Мкривой g наз. совокупность всех понятий и свойств, связанных с кривой, к-рые выражаются через первые пвекторов последовательности (*). Так, дифференциальной окрестности 1-го порядка принадлежат понятия касательной к кривой и ее нормальной плоскости. Дифференциальной окрестности 2-го порядка принадлежат понятия кривизны, соприкасающейся плоскости, трехгранника Френе, соприкасающейся окружности кривой. Понятие кручения кривой принадлежит дифференциальной окрестности 3-го порядка. Кривизна и кручение кривой образуют полную систему ее инвариантов в том смысле, что любой инвариант кривой есть функция кривизны и кручения и их производных любых порядков. Аналогично строится локальная теория поверхностей пространства Е 3. Локальная теория кривых и поверхностей пространства Е 3 - это наиболее старая часть Л. д. г., созданная в основном в 18-19 вв. Уже в 19 в. начали появляться различные обобщения этой теории. Одно из таких обобщений связано с понятием однородного пространства. В произвольном дифференциально-геометрическом однородном пространстве G/H можно строить локальную теорию кривых и поверхностей различных размерностей аналогично тому, как это указано выше для пространства Е 3, а именно, как теорию инвариантов основной группы G. В этом направлении наибольшее развитие получили аффинная дифференциальная геометрия и проективная дифференциальная геометрия.
Обобщение понятия первой квадратичной формы поверхности пространства Е 3 привело к теории римановых пространств. Локальная теория римановых пространств возникла еще в сер. 19 в. и продолжает развиваться, находя многочисленные приложения.
Понятие параллельного перенесения вектора вдоль кривой на поверхности пространства привело к теории пространств аффинной связности. В свою очередь это явилось началом развития общей теории сцязностей.
Лит.:[1] Ф а в а р Ж., Курс локальной дифференциальной геометрии, пер. с франц., М., 1960. А. С. Феденко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "ЛОКАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ" в других словарях:
Дифференциальная геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и … Большая советская энциклопедия
Математический факультет БГПУ — имени Максима Танка … Википедия
ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — раздел дифференциальной геометрии, в к ром изучаются поверхности. Н П. т. исследуются форма поверхности, ее искривление, свойства различного рода линий на поверхности, рассматриваются вопросы изгибания, вопросы существования поверхности с данными … Математическая энциклопедия
Теория вероятностей — График плотности вероятности нормального распределения одной из важнейших функций, изучаемых в рамках теории вероятностей … Википедия
Научная картина мира — (сокр. НКМ) одно из основополагающих понятий в естествознании особая форма систематизации знаний, качественное обобщение и мировоззренческий синтез различных научных теорий. Будучи целостной системой представлений об общих свойствах и… … Википедия
Алгебра Ли — Алгебра Ли объект абстрактной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли. Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842 1899). Содержание 1 Определение 1.1 Замечания … Википедия
Альтернативные теории гравитации — Альтернативными теориями гравитации принято называть теории гравитации, существующие как альтернативы общей теории относительности (ОТО) или существенно (количественно или принципиально) модифицирующие ее. К альтернативным теориям гравитации… … Википедия
КИЛЛИНГА ВЕКТОР — точнее киллинга векторное поле, или инфинитезимальное движение, поле скоростей (локальной) однопараметрич. группы движений риманова пространства М. Точнее, векторное поле Xна Мназ. векторным полем Киллинга (к. в. п.), если оно удовлетворяет… … Математическая энциклопедия
ЛИ АЛГЕБРА — лиева алгебра, унитарный k модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) ( х,[ у,… … Математическая энциклопедия
ЛИ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ — гладкое действие связной группы Ли Gна гладком многообразии М, т. е. гладкое (класса ) отображение . такое, что: (е единица группы G). Ли г. п., удовлетворяющая также условию: наз. эффективной. Примеры Ли г. п. Любое гладкое линейное… … Математическая энциклопедия
