МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ

- раздел математической логики, изучающий математические модели.

Начало М. т. относится к 30-м гг. 20 в., когда были доказаны следующие две основные теоремы.

Теорема 1 (теорема Гёделя - Мальцева). Если каждая конечная подсовокупность совокупности Твысказываний языка 1-й ступени совместима, то совместна и вся совокупность Т(см. [1]).

Теорема 2 (теорема Лёвенхейма - Сколема - Мальцева). Если совокупность высказываний языка 1-й ступени сигнатуры Wимеет бесконечную модель, то она имеет модель любой бесконечной мощности, не меньшей мощности сигнатуры W.

Теорема 1, называемая теоремой компактности, получила широкое применение в алгебре. На основе этой теоремы А. И. Мальцев создал метод доказательства локальных теорем алгебры (см. Мальцева локальные теоремы).

Пусть А- алгебраич. система сигнатуры - основное множество системы обозначает сигнатуру, получаемую из добавлением символов выделенных элементов для всех , а обозначает алгебраич. систему сигнатуры , к-рая является обогащением алгебраич. системы Aи в к-рой для каждого символ интерпретируется элементом а. Множество всех замкнутых формул сигнатуры языка 1-й ступени, истинных в системе , наз. описанием алгебраической системы А, а множество D(А)тех формул из О(А), к-рые являются либ. <о атомными, либо отрицаниями атомных, наз. диаграммой А. Алгебраич. система Вназ. элементарным расширением алгебраич. системы А, если и есть модель для . В этом случае Аназ. элементарной подсистемой В. Напр., множество рациональных чисел вместе с обычным отношением порядка является элементарной подсистемой системы действительных чисел с обычным отношением порядка.

Подсистема Аалгебраич. системы Всигнатуры тогда и только тогда является элементарной подсистемой системы В, когда для каждой замкнутой формулы языка 1-й ступени сигнатуры , истинной в , найдется такой , что истинна в . Из этого критерия сразу следует, что объединение возрастающей цепочки элементарных подсистем является элементарным расширением каждой из этих систем. Если замкнутая -формула языка 1-й ступени истинна в каждой системе возрастающей цепочки систем, то эта формула истинна и в объединении этой цепочки (см. [1]).

Пусть сигнатура содержит символ Uодноместного отношения. Говорят, что модель Атеории Тсигнатуры имеет тип , если мощность Аравна , а мощность равна

Теорема Вота: если элементарная теория Тсчетной сигнатуры имеет модель типа , где , то Тимеет модель типа (см. [7], [10]). В предположении, что справедлива обобщенная гипотеза континуума, элементарная теория счетной сигнатуры имеет модель типа для каждого , если она имеет модель типа (см. [10]). При этом же предположении теория Тh(А), где сигнатура Аесть - множество всех действительных чисел, - множество целых чисел, а определены обычным образом, не имеет модели типа

Пусть обозначает обогащение алгебраич. системы Апри помощи предиката , а - сигнатуру, полученную из присоединением предикатного символа Р. Во многих случаях важно понять, когда в каждой системе из класса Калгебраич. систем сигнатуры предикат Рзадается формулой языка 1-й ступени сигнатуры . Частичный ответ на этот вопрос дает теорема Бета: тогда и только тогда существует формула языка 1-й ступени сигнатуры такая, что формула истинна на всех системах аксиоматизируемого класса Ксигнатуры , когда множество содержит не более одного элемента для каждой алгебраич. системы Асигнатуры (см. [2]).

Многие исследования по М. т. связаны с изучением свойств, сохраняющихся при операциях над алгебраич. системами. К числу важнейших операций относятся гомоморфизмы, прямые и фильтрованные произведения.

Говорят, что высказывание Ф устойчиво относительно гомоморфизмов, если из истинности Ф в алгебраич. системе Аследует истинность Ф во всех эпиморфных образах А. Формула Ф языка 1-й ступени наз. положительно й, если Ф не содержит знаков отрицания и импликации. Доказано (см. [1]), что высказывание Ф языка 1-й ступени устойчиво относительно гомоморфизмов тогда и только тогда, когда Ф эквивалентно положительному высказыванию. Аналогичная теорема верна и для языка

Формула языка 1-й ступени сигнатуры наз. хорновской, если она может быть получена конъюнкциями и навешиванием кванторов из формул вида где - атомные формулы языка 1-й ступени сигнатуры . Примерами хорновских формул являются тождества и квазнтождества. Центральной в теории ультрапронзведений является теорема Лося : всякая формула языка 1-й ступени фильтруется по любому ультрафильтру (см. [1]). Формула языка 1-й ступени условно фильтруется по любому фильтру тогда и только тогда, когда эта формула эквивалентна хорновской формуле. Имеет место теорема (см. [9]): алгебраич. системы Аи Всигнатуры тогда и только тогда элементарно эквивалентны, когда существует такой ультрафильтр Dна множестве , что и изоморфны. Мощность фильтрованного произведения бесконечна, если для каждого натурального пчисло сомножителей мощности пконечно. Если для каждого натурального пмножество тех индексов, для к-рых соответствующий сомножитель имеет мощность п, не принадлежит D, то мощность ультрапроизведения по неглавному ультрафильтру Uна счетном множестве I равна континууму. Для каждого бесконечного I мощности существует такой фильтр Dна I, что для каждого фильтра на I, содержащего D, и каждого бесконечного множества Амощность не меньше (см. [1]).

Много применений находит теорема о существовании моделей с большим числом автоморфизмов (см. [3]): для любого линейно упорядоченного множества Xв аксиоматизируемом классе Калгебраич. систем, содержащем бесконечную систему, существует такая система А, что и каждое сохраняющее порядок одно-однозначное отображение Xна Xпродолжается до автоморфизма А.

Важными понятиями М. т. являются понятия универсальной, однородной и насыщенной систем. Пусть Аи В - алгебраич. системы сигнатуры . Отображение f множества во множество наз. элементарным, если для каждой формулы языка 1-й ступени сигнатуры и любых имеет место эквивалентность . Система Аназ. -универсальной, если для каждой системы В, элементарно эквивалентной системе Аи имеющей мощность, не превосходящую , существует элементарное отображение в . Система Аназ. -однородной, если для любого множества , мощность к-рого меньше , каждое элементарное отображение в продолжается до элементарного отображения на (т. е. до автоморфизма А). Система Асигнатуры наз. -насыщенной, если для каждого множества , мощность к-рого меньше , и каждой совокупности формул языка 1-й ступени сигнатуры , не содержащих свободных переменных, отличных от , из конечной выполнимости в следует выполнимость в . Система Аназ. универсальной (соответственно однородной или насыщенной), если и Аявляется универсальной (соответственно -однородной или насыщенной), где есть мощность . Система тогда и только тогда насыщена, когда она одновременно универсальна и однородна. Две элементарно эквивалентные насыщенные системы одной мощности изоморфны (см. [3]). Все несчетные модели категоричной в несчетных мощностях элементарной теории счетной сигнатуры насыщены (теорема Морли, см. [3], [8]). Большое число примеров -насыщенных систем доставляют ультрапроизведения. Напр., если D- неглавный ультрафильтр на счетном множестве , то является -насыщенной системой для любых алгебраич. систем счетной сигнатуры .

Основными задачами М. т. являются изучение выразительной возможности формализованного языка и изучение классов структур, определимых средствами этого языка. Найдены нек-рые важные свойства стабильных теорий, еще более детально изучены классы категоричных и суперстабильных теорий.

Основным аппаратом при изучении стабильных теорий является классификация формул и локально совместных множеств формул в этих теориях.

Такая классификация осуществляется путем приписывания формулам рангов. Эти ранги обычно принимают в качестве значений ординалы, а рангующие функции задаются с помощью специальных топологий или другим способом. Изучение рангующих функций и их усовершенствование - богатый источник информации о теориях.

В изучении классов моделей выясняют число различных с точностью до изоморфизма моделей теории в рассматриваемой мощности и наличие специальных моделей, напр, простых, минимальных, насыщенных, однородных, универсальных, конструктивизируемых и т. п., и создают способы их построения.

Классич. примерами применения методов М. т. в математич. анализе являются работы А. Робинсона (A. Robinson) и его школы, сформировавшиеся в самостоятельную науку - нестандартный анализ;благодаря работам А. И. Мальцева и его школы развивается применение методов М. т. в топологич. алгебре; новейшие результаты о свойствах стабильных теорий находят использование при изучении конкретных алгебраич. вопросов.

Перечисленные выше проблемы встают и при изучении различных неэлементарных языков, напр., получаемых добавлением новых кванторов, введением в рассмотрение бесконечных выражений, модальностей и т. п.

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, пер. с англ., М., 1967; [3] Тайцлин М. А., Теория моделей, Новосиб., 1970; [4] Ершов Ю. Л., Проблемы разрешимости и конструктивные модели, М., 1980; [5] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А., Математическая логика, М., 1979; [6] Ершов Ю. Л. [и др.]. "Успехи матем. наук", 1965, т. 20, в. 4, с. 37 -108; [7] Мальцев А. И.,Тр. Четвертого Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 169-98; [8] Кейслер Г., Чэн Ч. Ч., Теория моделей, пер. с англ., М., 1977; [9] Сакс Д ж.,, Теория насыщенных моделей, пер. с англ., М., 1976; [10] Vaught R.L., в сб.: Infinistic methods, N. Y. [а. о.], 1961, р. 303-21; [11] Моrlеу М., Vaught R.,"Math. scand.", 1962, v. 11, fasc. 1, p. 37-57; [12] Mоrleу М., "Trans. Amer. Math. Soc", 1965, v. 114, № 2, p. 514-38; [13] Shclah S., Classification theory and the number of non-isomorphic models, Amst., 1978; [14] Bell I. L., Slоmsоn А. В., Models and ultraproduets. An introduction, Amst.- L., 1969.

А. Д. Тайманов, M. А. Тайцлин.