Теория (логика)

В логике теория — это множество формул некоторого языка.

Как правило, интерес представляют лишь теории, содержащие некоторый минимальный набор формул (аксиом) и замкнутые относительно некоторых правил вывода, специфических для языка.

Термин теория чаще всего употребляется в контексте логики первого порядка, хотя он используется также и для неклассических логик. В контексте модальной логики для аналогичного понятия используются термины модальная логика и нормальная модальная логика (см. статью модальная логика).

Теории логики первого порядка состоят из замкнутых формул.

С точки зрения теории моделей, теория объект чисто семантический, это некий инвариант модели или класс моделей. С другой стороны, аксиоматизация является компактным представленим теории с помощью различных синтаксических механизмов, таких как аксиомы и правила вывода.

Формулы, принадлежащие теории, называются её теоремами.

Полнота

Теория называется непротиворечивой, если она не совпадает со множеством всех формул.

Теория $T$ называется полной, если для любой формулы $\varphi$ либо $\varphi \in T$, либо $\neg \varphi \in T$.

Каждая модель первого порядка данной сигнатуры $S$ естественным образом порождает полную теорию:

$Th(\mathfrak{M}) = \{\varphi \in L(S) \mid \mathfrak{M} \models \varphi\}$

(где $L(S)$ означает язык первого порядка для сигнатуры $S$).

Разрешимость

Теория называется разрешимой, если задача определения принадлежности данной формулы к этой теории является алгоритмичечски разрешимой. Эквивалентное определение: теория называется разрешимой, если множество Гёделевых номеров формул теории является рекурсивным.

См. также

• Список теорий первого порядка
• Список нормальных модальных логик
• Теорема Гёделя о неполноте