МАЯТНИКА КОЛЕБАНИЙ УРАВНЕНИЕ

МАЯТНИКА КОЛЕБАНИЙ УРАВНЕНИЕ

- обыкновенное дифференциальное уравнение вида

где а- положительная константа. М. к. у. возникает при изучении свободных колебаний в поле тяжести математич. маятника - материальной точки, имеющей одну степень свободы и находящейся на конце нерастяжимого и несжимаемого невесомого подвеса, другой конец к-рого закреплен на шарнире, допускающем вращение маятника в вертикальной плоскости. Неизвестная функция x(t)- это угол отклонения маятника в момент tот нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;

где l- длина подвеса, g- ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия имеет вид:

Качественное изучение М. к. у. производится с помощью закона сохранения энергии, связывающего положение и скорость маятника:

где E=const - полная энергия маятника. Масштаб времени можно выбрать так, чтобы было a=1. При этом значению полной энергии E<1 соответствует колебательное движение маятника (скорость периодически меняет знак), а значению E>1 соответствует вращательное движение (скорость сохраняет знак). Решение х(t)M. к. у. (*) с начальным условием приудовлетворяет соотношению где Якоби эллиптическая функцияsn имеет модуль

Большое прикладное значение имеют уравнения, близкие к М. к. у. Наличие малого трения, зависящего от положения и скорости маятника, приводит к уравнению

малые колебания маятника с трением описываются уравнением: частным случаем к-рого является Ван дер Поля уравнение. Колебание маятника при периодич. изменении длины подвеса (движение качелей) описывается Хилла уравнением, важный частный случай к-рого - Матьё уравнение.

Лит.:[1] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1975; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1978; [3] Андронов А. А., Витт А. А., Xaйкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.

Ю. С. Ильяшенко.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "МАЯТНИКА КОЛЕБАНИЙ УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • Теория колебаний — теория, рассматривающая всевозможные колебания, абстрагируясь от их физической природы. Для этого используется аппарат дифференциального исчисления. Содержание 1 Гармонические колебания …   Википедия

  • Маятник Капицы — Одна из конструкция маятника Капицы: мотор приводит кривошип, который через шатун и рычаг передаёт вибрацию на перевёрнутый маятник. Маятником Капицы …   Википедия

  • Физический маятник — У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник. Физический маятник осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной… …   Википедия

  • Математический маятник — У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник. Математический маятник  осциллятор, представляющий собой механическу …   Википедия

  • Гармонический осциллятор — У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор. Гармонический осциллятор (в классической механике)  система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x… …   Википедия

  • Важнейшие открытия в физике — История технологий По периодам и регионам: Неолитическая революция Древние технологии Египта Наука и технологии древней Индии Наука и технологии древнего Китая Технологии Древней Греции Технологии Древнего Рима Технологии исламского мира… …   Википедия

  • Часы прибор для измерения времени — Содержание: 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Часы — Содержание. 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Параметрический осциллятор — Параметрический осциллятор  осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области. Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во… …   Википедия

  • Механика —         [от греч. mechanike (téchne) наука о машинах, искусство построения машин], наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Под механическим движением понимают изменение с течением… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»