МАРЦИНКЕВИЧА ПРОСТРАНСТВО

банахово пространство My всех измеримых на полуоси функций (классов) с конечной нормой

где х*(s) - перестановка функции x(t), т. е. невозрастающая непрерывная слева функция, равноизме-рпмая с |x(t)|, а y(t)- нек-рая положительная неубывающая на функция, для к-рой y(t)/t не возрастает (в частности, y(t).- неубывающая вогнутая функция); введено И. Марцинкевичем [1].

Если y(t) ограничена снизу и сверху положительными константами, то пространство M_y изоморфно L¹. Во всех других случаях оно не сепарабельно. Пространство M_y является интерполяционным между L¹ и с интерполяционной константой 1.

На пространстве M_y определен функционал

к-рый всегда не превосходит Функционал F(х).не обладает свойствами нормы; он эквивалентен норме тогда и только тогда, когда при s>1

(в частности, для ).

Пространство M_y возникло впервые в интерполяционной теореме Марцинкевича (с функционалом F(х)).и связано с интерполированием операторов слабого типа. Оно обладает экстремальным свойством: является наиболее широким среди всех симметричных пространств Е, для к-рых фундаментальная функция совпадает с h/y(h), т. е. где - характеристич. функция интервала (0, h). Если

то My изоморфно (изометрично, если y вогнута) сопряженному пространству к пространству Лоренца с нормой

где - наименьшая вогнутая мажоранта y(s). При условиях (2) в M_y выделяется подпространство состоящее из всех функций из M_y, для к-рых

Если, кроме того,

то подпространство

совпадает с замыканием в M_y множества всех финитных ограниченных функций. При этом сопряженное к пространству изоморфно пространству Лоренца н, следовательно, M_y изоморфно второму сопряженному пространству к

Если - пространство, на s-алгебре измеримых множеств к-рого определена s-конечная мера m, то для каждой измеримой функции х(т).определена ее перестановка так что можно ввести М. п. . с нормой (1).

Лит.:[1] Marcinkiewicz J., "С. r. Acad. sci.". 1939, t. 208, p. 1272-73; [2] К р е й н С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М., Интерполяция линейных операторов, М., 1978: [3] С т е й н И., В е й с Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974.

С. Г. Крейн.