МАРТИНГАЛ

- стохастическая последовательность заданная на вероятностном пространстве с выделенным на нем неубывающим семейством s-алгебр такая, что X_t являются F_t -измеримыми и

(с вероятностью 1, или почти наверное). В случае дискретного времени T={1, 2, ...}, в случае непрерывного времени Родственными понятиями являются стохастич. последовательности, образующие субмартингал, для к-рых

и супермартингал, для к-рых

Пример 1. Если - последовательность независимых случайных величин с то X = ( Х _n, F_n).с является М.,

Пример 2. Пусть Y=(Y_n, F_n) - М. (субмартингал), V=(V_n, F_n) - нек-рая предсказуемая последовательность (т. е. V_n являются не только F_n -измеримыми, но и F_n-1 -измеримыми, и

Тогда если величины (VY)F_n интегрируемы, то стоха-стич. последовательность ((VY)_n-1, F_n )образует М. (субмартингал). В частности, если - последовательность независимых случайных величин, соответствующих схеме Бернулли

и

то((VY)_n, F_n).образует М. Эта стохастич. последовательность служит математич. моделью игры, в к-рой игрок выигрывает единицу капитала, если x_k=+1, и проигрывает единицу, если x_k=-1, a V_k - величина его ставки в k-й партии. Игровой смысл функции V_k, определяемой равенством (2), состоит в том, что игрок увеличивает ставку вдвое при проигрыше п прекращает игру при первом выигрыше. Такая система игры в игровой практике носит название М., что н послужило причиной возникновения математич. термина "мартингал".

Один из основных фактов теории М. состоит в том, что структура М. (субмартингалов) Х=(X_t, F_t).сохраняется при случайной замене времени. Точная формулировка этого факта (называемого теоремой о преобразовании свободного выбора) состоит в следующем: если t₁ и t₂ - два конечных марковских момента, и

то (с вероятностью 1, или почти наверное), где

В качестве частного случая отсюда следует Вальда тождество:

К числу основных результатов теории М. относятся неравенства Дуба: если Х=( Х _n, F_n) - неотрицательный субмартингал,

то

Если Х=Х=( Х _n, F_n) - М., то для случая p>1 справедливы неравенства Буркхольдера (обобщающие неравенства Хинчина и Марцинкевича - Зигмунда для сумм независимых случайных величин):

где А _р и В _р - нек-рые универсальные константы (не зависящие от Xи от п). в качестве к-рых можно взять

и

С учетом (5) из (7) следует, что (р>1)

где

На случай р=1 обобщаются неравенства (8). Именно, имеют место неравенства Дэвиса: существуют такие универсальные постоянные Аи В, что

Для доказательства разного рода теорем о сходимости субмартпнгалов с вероятностью единица ключевую роль играет неравенство Дуба для математического ожидания числа пересечений b_n(a, b).субмартингалов Х=( Х _п, F_n).интервала [ а, b]снизу вверх за пшагов

Основной результат о сходимости субмартингалов содержится в теореме Дуба: если Х=( Х _п, F_n) - субмартингал и sup то с вероятностью единица существует Если

субмартингал Xравномерно интегрируемый, то помимо сходимости с вероятностью единица имеет место и сходимость в смысле L₁ т. е.

Следствием этого результата является теорема Леви о непрерывности условных математических ожиданий: если то

где

Естественным обобщением М. является понятие локального мартингала, т. е. такой стохастич. последовательности Х=( Х _t, F_t), для к-рой найдется последовательность конечных марковских моментов, (с вероятностью 1 или почти наверное), таких, что для каждого "остановленные" последовательности

являются М. В случае дискретного времени каждый локальный М. Х=( Х _п, F_n )есть мартингал ь-ное преобразование, т. е. представим в виде Х _п=(VY) _п, где V - нек-рая предсказуемая последовательность, а Y - нек-рый М.

Каждый субмартингал Х=( Х _t, F_t )допускает и притом единственное разложение Дуба - Мейера Х _t=M_t+A_t, где M=(M_t,F_t) - M., a А=(A_t, F_t).-предсказуемый процесс. В частности, если m=(m_t, F_t) - квадратично-интегрируемый М., то его квадрат является субмартингалом, для к-рого в его разложении Дуба - Мейера процесс <m>=(<m>_t, F_t).наз. квадратической характеристикой мартингала т. Для каждого квадратично-интегрируемого М. ти предска-

зуемого процесса V=(V_t, F_t).таких, что

(с вероятностью 1, или почти наверное), t> 0, можно определить стохастич. интеграл

к-рый является локальным М. В случае винеровского процесса W=(W_t, F_t), являющегося квадратично-интегрируемым М., <m>_t=t и стохастич. интеграл (VW)_t есть не что иное, как стохастич. интеграл Ито по винеровскому процессу,

В случае непрерывного времени неравенства Дуба, Буркхольдера и Дэвиса также остаются в силе (для процессов непрерывных справа и имеющих пределы слева).

Лит.:[1] Д у б Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Ги х м а н И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971. А. Н. Ширяев.