- ЛОКАЛЬНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
со значениями в пучке абелевых групп - когомоло-гии со значениями в пучке, носители к-рых содержатся в заданном подмножестве. Пусть X - топологии, пространство,
- пучок абелевых групп на X, Z - локально замкнутое подмножество в X, т. е. замкнутое подмножество нек-рого открытого в Xподмножества V, тогда через
обозначают подгруппу в
состоящую из сечений пучка
с носителями в Z. Если фиксировать Z, то соответствие
определяет точный слева функтор из категории пучков абелевых групп на Xв категорию абелевых групп. Значение соответствующего i-го правого производного функтора на пучке
обозначают через
и наз. i-й группой локальных когомологий пространства Xсо значениями в
относительно Z. При этом
Пусть
- пучок на X, отвечающий предпуч-ку, к-рый сопоставляет любому открытому подмножеству
группу
Соответствие
является точным слева функтором из категории пучков абелевых групп на Xв нее же. Значение его i-го правого производного функтора на пучке
обозначается через
и наз. пучком г'-х локальных когомологий пучка
относительно Z. Пучок
ассоциирован с предпучком, сопоставляющим открытому подмножеству
группу
Существует спектральная последовательность
сходящаяся к
у к-рой
(см. [2], [3]).
Пусть Z - локально замкнутое подмножество в X, Z'- замкнутое подмножество в
тогда имеют место точные последовательности:
Если Zесть все X,a Z'- замкнутое подмножество в X, то последовательность (2) дает точную последовательность
и систему изоморфизмов
Пучки
наз. i-ми лакунарными пучками пучка
и имеют важные приложения к вопросу о продолжении сечений и классов когомологий пучка
заданных на
на все X(см. [4]).
Если X - локально нётерова схема,
- квазикогерентный пучок на X, Z - замкнутая подсхема в X, то
- также квазикогерентные пучки на X. Если
- когерентный пучок идеалов на X, задающий подсхему Z, то имеют место изоморфизмы
Важными для приложений являются следующие критерии тривиальности и когерентности пучков локальных когомологий (см. [3], [4]).
Пусть X - локально нётерова схема или комплексное аналитич. ространство, Z - локально замкнутая подсхема или аналитич. одпространство в
- когерентный пучок
-модулей,
- когерентный пучок идеалов, задающий Z. Пусть
где
-длина максимальной регулярной для
последовательности элементов из
или
если
Тогда равенство
для i<n равносильно условию
Пусть
(где
- максимальный идеал колец
) и пусть
Если X - комплексное аналитич. пространство или алгебраич. многообразие, то все множества
являются аналитическими или соответственно алгебраическими. Если при этом
- когерентный пучок на X,a Z - соответственно аналитич. ространство или подмногообразие, то когерентность пучков
для
равносильно условию
для всякого целого k.
В терминах Л. к. определяются гиперфункции, имеющие важные приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными [5]. Пусть Q - открытое подмножество пространства
к-рое естественным образом вложено в
Тогда
Предпучок
на
определяет вялый пучок, называемый пучком гиперфункций.
Аналог Л. к. существует и в теории этальных когомологий [3].
Лит.:[1] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология, Геометрия т. 10, М., 1972, с. 47-112; [2] G r о t h e n d i e с k A., Local cohomology, В.- Hdlb.-N. Y., 1967; [3] его же, Cohomologie locale des faisceaux coherents et tMorernes de Lefschetz locaux et globaux, Amst.- P., [1968]; [4] S i u Y.- Т., Trautmann G., Gapsheaves and extension of coherent analytic subsheaves, B.- [a. o.], 1971; [5] III а п и р а П., Теория гиперфункций, пер. с франц., М., 1972; [6] В a n i с а С., S t a n a s i l a О., Metode algebrice in teoria globaia a spatiilor complexe, Buc., 1974. Д. А. Пономарев
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.