ГОМОЛОГИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

обобщенное многообразие,- локально компактное топологич. пространство, локальная гомологич. структура к-рого аналогична локальной структуре обычных топологнч. многообразий, в том числе многообразий с краем. Более точно, гомологическим n-многообразием (обобщенным n-многообразием) над группой или модулем Gкоэффициентов наз. локально компактное топологич. пространство X, имеющее конечную гомологическую размерность над Gи такое, что все его локальные гомологии группы при тривиальны, а при либо изоморфны G, либо равны нулю. Здесь есть прямой предел групп . взятый по всем окрестностям Uточки', причем под Нпонимается теория гомологии, удовлетворяющая всем Стинрода - Эйлен-берга аксиомам, включая аксиому точности; в категории локально стягиваемых пространств теория Н, рассматриваемая с компактными носителями, изоморфна сингулярной (см. Сингулярные гомологии). Группы автоматически оказываются слоями иек-рого пучка (см. Пучков теория), называемого ориентирующим пучком многообразия X. Г. м. Xназ. ориентируемым, если пучок изоморфен постоянному пучку ,илокально ориентируемым, если является локально постоянным в точках, где . Если G - кольцо главных идеалов и все отличны от нуля, то Г. м. над G всегда локально ориентируемо. Если Г. м. над группой Gлокально ориентируемо, то множество всех , в к-рых замкнуто, нигде не плотно и образует край Г. м. X. Локально ориентируемое Г. м. Xимеет те же гомологич. свойства, что и обычные многообразия.

Например, для X верна теорема об инвариантности области, множество нигде не плотно в Xв том и только в том случае, если и т. д.

Для всякого Г. м. над G имеют место естественные изоморфизмы (Пуанкаре двойственность)

(когомологии с коэффициентами в пучке). Здесь р - любое целое число, но гомологич. размерность Г. м. Xнад G равна п, и потому изоморфизмы имеют нетривиальное содержание только при Аналогичные изоморфизмы имеют место для гомологии и когомологии с носителями в любом паракомпактифицирующем семействе (в частности, для гомологии и когомологии с компактными носителями). Условие изоморфизма между ненулевыми слоями пучка и группой G не является существенным. Можно также вместо группы Gрассматривать любой локально постоянный пучок коэффициентов со слоем (при этом изменится).

Любое открытое подмножество является Г. м.; поэтому использование равенств

из к-рых во втором имеет компактное замыкание, а индекс суказывает на компактность носителей, позволяет получать как частные случаи двойственности Пуанкаре изоморфизмы

Сопоставление точных гомологич. и когомологич. последовательностей соответствующих пар позволяет в качестве частных случаев двойственности Пуанкаре рассматривать также изоморфизмы

и

последний из к-рых является обобщением Александера двойственности. Аналогичные соотношения имеют место для гомологии и когомологий с носителями в нек-ром фиксированном семействе. Пусть

и пусть Xкомпактно, а Y - замкнутое или открытое подмножество. Следствием предыдущих изоморфизмов и точности гомологии и когомологий является изоморфизм

представляющий собой Понтрягина двойственность при замкнутом Yи Стинрода двойственность при открытом Y. Отсюда и из свойства непрерывности когомологий вытекает, что изоморфизм

имеет место для любого подмножества (двойственность Ситникова). В случае некомпактного Xвместо гомологии с компактными носителями следует рассматривать гомологии с носителями, замкнутыми во всем X. Если Xкомпактно, то при р=0 следует использовать приведенные гомологии.

Нетривиальными примерами Г. м. являются "сомножители" обычных многообразий, напр, евклидовых пространств: если для топологич. пространства Xсуществует такое Y, что декартово произведение есть Г. м., то Xи Y - тоже Г. м. Известны примеры Г. м., не являющихся локально евклидовыми ни в одной своей точке. Г. м. играют существенную роль в нек-рых вопросах теории преобразований групп, где они появляются в качестве пространств орбит или множества неподвижных точек.

Имеется когомологич. вариант определения обобщенных многообразий. Всякое когомологическое многообразие над кольцом главных идеалов G является Г. м. над G, а если Gне более чем счетно, то верно и обратное.

Лит.:[1] Cech E., "Ann. Math.", 1933, v. 34, p. 621 - 730; [2J Lefschetz S., "Amer. J. Math.", 1933, v. 35, p. 469-573; [3] Алeксандров П. С., "Ann. Math.", 1935, v. 36, p. 1-35; [4] Александров П. С., Понтрягин Л. С., "С.r. Acad. sci.", 1936, t. 202, p. 1327-329; [5] Smith P. A., "Ann. Math.", 1939, v. 40, p. 690-712; [6] Begle E., "Amer. J. Math.", 1942, v. 64, p. 553-73; [7] Wilder R., Topology of manifolds, N. Y., 1949; [8] Воre1 A., "Midi. Math. J.", 1957, v. 4, p. 227-39; [9] Yang С. Т., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1958, v. 87, p. 261-83; [10] Conner P. E., Floyd E. E., "Mich. Math. J.", 1959, v. 6, p. 33-43; [11] Raymond F., там же, 1960,v. 7, p. 7-21 [12] Вredon G. E., там же, р. 35-64; [13] Вorel A. "Ann. Math, studies", 1960, Ks 46, p. 23-33; [14] Вredon G. E. "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1969, v. 63, № 4, p. 1079-81

E. Г. Скляренко