- ЛОКАЛИЗАЦИЯ
в коммутативной алгебре - переход от коммутативного кольца Ак частных кольцу A[S-1], где S- нек-рое подмножество А. Кольцо A[S-1]можно определить как решение задачи об универсальном отображении Ав кольцо, при к-ром все элементы множества S становятся обратимыми. Имеются, однако, и явные конструкции А[S-1]:
1) как множества дробей вида a/s, где
a s является произведением элементов из S(при этом две дроби a/s и a'/s' считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда найдется s", являющийся произведением элементов из Sи такой, что 
складываются и умножаются дроби по обычным правилам);
2) как факторкольцо кольца многочленов A[Xs],
по идеалу, порожденному многочленами 
3) как индуктивный предел индуктивной системы A-модулей
где iпробегает естественно упорядоченный свободный коммутативный моноид N(s). При этом все А i изоморфны А, а гомоморфизмы 
->
совпадают с умножением на 
Кольцо Аканонически отображается в A[S-1]и превращает последнее кольцо в А-алгебру. Это отображение
инъективно тогда и только тогда, когда S не содержит ни одного делителя нуля в А, Напротив, если Sсодержит нильпотентный элемент, то A[S-1]=0.
Без потери общности множество Sможно считать замкнутым относительно произведения (такое множество наз. мультипли кативным, или мультипликативной системой). В этом случае кольцо A[S-1]обозначается также S-1A или AS- Важнейшие примеры мультипликативных систем:
а) множество {sn} всех степеней элементов
б) множество
то есть дополнение к простому идеалу 
Соответствующее кольцо частных является локальным и обозначается 
в) множество Rвсех не делителей нуля в А.
Кольцо R-1A наз. полным кольцом частных кольца А. Если Ацелостно, R-1A=A(0) является полем частных.
Операция локализации без труда переносится на произвольные A-модули М, если положить
Переход от Мк М[S-1]является точным функтором. Иначе говоря, A-модуль A[S-1]является плоским. Л. коммутирует с прямыми суммами и индуктивными пределами.
С геометрич. точки зрения Л. означает переход к открытому подмножеству. Точнее, для
спектр Spec A[s-1]канонически отожествляется с открытым (в Зариского топологии).подмножеством 
состоящим из простых идеалов 
не содержащих s. Более того, эта операция позволяет связать с каждым A-модулем Мквазикогерентный пучок 
на аффинной схеме Spec A, для к-рого
На Л. можно смотреть как на операцию, позволяющую обратить морфизмы умножения на
в категории A-модулей. При таком подходе операция Л. допускает широкое обобщение на произвольные категории (см. Локализация в категориях).
Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. С франц., М., 1971. В. И- Данилов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
