ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ЗАДАЧА

задача Римана, задача Гильберта, задача Гильберта - Привалова, задача Римана - Привалова, - одна из основных граничных задач теории аналитических функций, формулируемая в простейшем случае следующим образом. Пусть L - простой гладкий замкнутый контур, делящий плоскость на внутреннюю область D⁺ и дополнительную к ней область D^-, содержащую бесконечно удаленную точку. Пусть на Lзаданы две функции G(t).и g(t), удовлетворяющие условию Гёльдера (условию Н), причем всюду на L. Требуется найти две функции аналитические соответственно в непрерывные вплоть до контура, за исключением конечного числа точек t_k, где для них допустимы разрывы при соблюдении условия

удовлетворяющие на контуре Lкраевому условию

при этом функция G(t)наз. коэффициентом задачи. Целое число

наз. индексом коэффициента G(t).и одновременно индексом Л. с. з. Пусть отыскивается решение, удовлетворяющее условию Тогда при m>0 однородная Л. с. з. (т. е. когда ) и неоднородная Л. с. з. безусловно разрешимы; решения зависят линейно от к произвольных постоянных и выражаются линейно через многочлен степени m-1 с произвольными коэффициентами. При m=0 однородная Л. с. з. имеет лишь тривиальное нулевое решение, а неоднородная задача разрешима безусловно и однозначно. При m<0 однородная задача имеет лишь нулевое решение, неоднородная задача - единственное решение лишь при выполнении |m| условий разрешимости, к-рые могут быть выражены линейно через многочлен с произвольными коэффициентами.

Решение Л. с. з. во всех случаях представляется в замкнутой форме - в квадратурах через интегралы типа Коши. Предельные значения искомых функций на контуре необходимо удовлетворяют условию Н. Перечисленные выше результаты без изменения переносятся на случай многосвязной области D⁺, ограниченной конечным числом простых взаимно непересекающихся замкнутых кривых. Случай контура, составленного из разомкнутых кривых, представляет ту особенность, что на концах кривых контура решения Л. с. з., в зависимости от выбираемого класса решений, могут обращаться в бесконечность или оставаться ограниченными. Индекс зависит от выбираемого класса решений. Индекс в классе решений с допустимой на конце бесконечностью порядка меньше единицы (интегрируемая бесконечность) на единицу больше, чем индекс в классе ограниченных на этом конце решений. Соответственно этому на единицу увеличивается число линейно независимых решений или уменьшается число условий разрешимости. Аналогичное положение имеет место в случае, когда коэффициент G(t).имеет разрывы 1-го рода; решение в точках разрыва ведет себя так же, как на концах контура.

В общем случае, когда контур состоит из конечного числа расположенных как угодно замкнутых и разомкнутых кривых, Л. с. з. решается теми же методами, что и упомянутые выше простые случаи; при этом получаются аналогичные результаты. Нек-рые трудности представляет исследование решения в точках, где встречается несколько кривых контура.

В случае, когда G(t), g(t).только непрерывны, но не удовлетворяют условию Н, сформулированные выше результаты остаются в силе, за исключением того, что здесь предельные значения решений существуют лишь при стремлении к контуру по некасательным путям, при этом они не непрерывны, а с любым р>0; если функция G(t).непрерывна, то и Наиболее общим предположением для коэффициента G(t), при к-ром решена Л. с. з., является класс измеримых функций с нек-рым дополнительным условием на величину скачка аргумента; при этом

Рассматривались Л. с. з. с бесконечным индексом, в к-рых в качестве контуров брались простые гладкие кривые с одним или обоими концами, уходящими в бесконечность. Исследованы случаи: 1) степенного порядка роста, когда при выполняются асимптотич. равенства

( для случая одного бесконечного конца, для обоих бесконечных концов); 2) логарифмического порядка, когда при

В обоих случаях при положительном бесконечном индексе число линейно независимых решений бесконечно и выражается через целую функцию, вид к-рой зависит от порядка индексов. При отрицательном бесконечном индексе однородная задача не имеет нетривиальных решений, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного множества условий разрешимости. Главную трудность представляет выделение конечных решений.

Исследовалось решение Л. с. з. на римановой поверхности и равносильной ей задачи на фундаментальной области автоморфной функции, принадлежащей нек-рой группе подстановок, в автоморфных функциях этого класса. Число решений или условий разрешимости зависит от индекса, а в нек-рых (особых) случаях также от рода поверхности или фундаментальной области.

Если в условии (*) считать Gматрицей, а Ф ^±, g векторами (re-мерными), то возникает Л. с. з. для кусочно аналитического вектора. Этот случай значительно сложнее, чем рассмотренный выше скалярный случай (n=1). Исследование производится сведением к системе интегральных уравнений. Число линейно независимых решений или условий разрешимости зависит от пнезависимых величин, наз. частными индексами, зависимость к-рых от матрицы коэффициентов в явном виде не установлена. Важную роль играет индекс определителя матрицы G, наз. суммарным индексом задачи.

Впервые Л. с. з. (для кусочно аналитич. вектора) встречается у Б. Римана (В. Riemann, см. [1]) в связи с решением задачи о построении линейного дифференциального уравнения по заданной группе подстановок (группе монодромии). Однако в том примерно виде, как она сформулирована выше, Л. с. з. была впервые рассмотрена Д. Гильбертом (1905, см. [2]) при менее общих условиях; первые результаты (альтернативного характера) были получены им путем сведения к интегральному уравнению. И. Племель (1908, см. [3]), использовав впервые интегралы типа Коши, свел векторную Л. с. з. к интегральному уравнению и полностью решил поставленную Риманом задачу дифференциальных уравнений. Неоднородную Л. с. з. (в несколько иной постановке) впервые рассмотрел И. И. Привалов [4]; его результаты относятся главным образом к теоретико-функциональным обобщениям.

Л. с. з. имеет большое число приложений. Главные из них - в теории сингулярных интегральных уравнений. Даны обобщения в различных направлениях - т. н. Л. с. з. со сдвигом, сопряжением, дифференциальная, для обобщенных аналитич. функций и другие. Теория Л. с. з., ее обобщений и приложений наиболее полно отражена в [5], [6].

Лит.:[1] Р и м а н Б., Сочинения, пер. с нем., М.- Л., 1948, с. 176-82; [2] Н i l b е r t D., Grundziige einer allgmeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, 2 Aufl., Lpz.,- В., 1924; [3] Plemelj J., "Monatsh. Math.", 1908, Bd 19, S. 211 - 45; [4] Привалов И. И., "Матем. сб.", 1934, т. 41, .№ 4, с. 519-526; [5] МусхелишвипиН. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968, гл. 2; [6] Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи, 3 изд., М., 1977. Ф. Д. Гахов.