ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ

1) Л. с. на дифференцируемом многообразии М - диф-ференциально-геометрич. структура на М, связанная с аффинной связностью на М. В каждой аффинной связности определяется параллельное перенесение вектора, позволяющее для каждой кривой L( х ₀, x₁).в Мопределить линейное отображение касательных векторных пространств В этом смысле аффинная связность определяет нек-рую Л. с. на М, к к-рой относятся все понятия и конструкции, связанные только с перенесением векторов и вообще тензоров. Л. с. на Мявляется связностью в главном расслоении В(М).базисов в касательных векторных пространствах

и определяется одним из следующих трех эквивалентных между собой способов:

1) объектом связности преобразующимся на пересечениях областей локальных карт по формулам

2) матрицей 1-форм на главном расслоенном пространстве В(М), состоящем из всех базисов во всех касательных пространствах такой, что 2-формы

в каждой локальной координатной системе выражаются в виде

3) билинейным оператором ковариантного дифференцирования, к-рый двум векторным полям X, Y на Мставит в соответствие третье и обладает свойствами:

где f - гладкая функция на М.

Каждая Л. с. на Мопределяет однозначно нек-рую аффинную связность на М, канонически присоединенную к ней, к-рая определяется путем развертки любой кривой L( х ₀, х ₁).в М. Для получения этой развертки следует сначала определить n=dimМ линейно независимых параллельных векторных полей Х ₁, . . ., Х _п вдоль L, затем разложить по ним касательное к Lвекторное поле:

и, наконец, найти в решение x(t).дифференциального уравнения

при начальном значении x(t)=0. В произвольной точке x_t кривой Lаффинное отображение касательных аффинных пространств

определяется теперь отображением реперов

где

Л. с. часто отождествляется с аффинной связностью, канонически к ней присоединенной, используя взаимно однозначное соответствие между ними.

2) Л. с. в векторном расслоении - дифференциально-геометрич. структура на дифференцируемом векторном расслоении к-рая каждой кусочно гладкой кривой L в В с началом х ₀ и концом х ₁ сопоставляет линейный изоморфизм слоев как векторных пространств - параллельное перенесение вдоль L. Л. с. определяется горизонтальным распределением на главном расслоенном пространстве Рбазисов в слоях, к к-ррму присоединено данное векторное расслоение. Аналитически Л. с. задается такой матрицей 1-форм на Р, где пробегают множество значений, мощность к-рого равна размерности слоев, что 2-формы

полубазовы,

т. е. над каждой локальной координатной системой ( х ⁱ).на Ввыражаются в виде

Горизонтальное распределение определяется при этом дифференциальной системой на Р.2-формы наз. формами кривизны. Согласно теореме о голономии они определяют группу голономии Л. с.

3) Л. с. в расслоенном пространстве - связность, при к-рой касательные векторы горизонтальных кривых с началом в данной точке урасслоенного пространства Еобразуют векторное подпространство Л. с. определяется горизонтальным распределением

Лит.:[1] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономии, пер. с франц., М., 1960; [2] Коbаyashi S., Nomizu К., Foundations of differential geometry, v. 1, N. Y.- L., 1963. Ю. Г. Лумисте,