- КРИПКЕ МОДЕЛИ
- структуры, состоящие из нек-рого множества обычных моделей для классической логики, упорядоченных между собой нек-рым отношением, н служащие для интерпретации в них различных неклассических логик (интуипионистской, модальных и др.). Точнее, К. м. для языка Lимеют вид
где S- некоторое непустое множество ("миров", "ситуаций"); R - некоторое бинарное отношение на S(напр., для системы J интуиционистской логики R является частичным порядком, для модальной системы 54 - предпорядком, для системы S5 - отношением эквивалентности); отображение Dсопоставляет каждому
_ нек-рую непустую область Da. так, что если 
то 
оценка Wсопоставляет всякой индивидной константе аэлемент 
всякой индивидной переменной х- элемент 
, для каждого 
всякой пропозициональной переменной р - истинностное значение 
(для системы J требуется также, чтобы если 
то 
), всякой n-местной 
предикатной константе Р- некоторое подмножество 
[для системы J, если 
то 
], всякой n-местной функциональной константе f - функцию 
[для системы /, если 
то 
есть ограничение 
].
Для всяких
и формулы Аязыка Lтакой, что для любой свободной переменной хв А 
индуктивно определяется истинностное значение 
. Для системы Jзначение 
определяется следующим образом:
а) если А - элементарная формула, то значение
уже задано моделью;
г)
(для всякого 
если 
и
д)
(для всякого 
если 
то
е)
(для всяких 
и 
если 
ж)
(существует 
такое, что 
(здесь 
означает, что оценка W' совпадает с Wвсюду, кроме, быть может, на х). Иногда вместо 
пишут 
Для модальных логик определение
в случаях (г), (д) и (ж) происходит иначе:
(для всякого 
если 
кроме того, добавляется
з)
(для всякого 
если 
то 
Формула Аназ. истинной в К. м. K=(S, R, D, W).(пишут
), если 
для всякого 
Для каждой из систем J, 54, 55 справедлива теорема о полноте: всякая формула выводима в этой системе тогда и только тогда, когда она истинна во всех К. м. из соответствующего класса. Существенно, что области 
являются, вообще говоря, различными, поскольку формула
где хне входит свободно в А, не выводима в системе J, но истинна во всех К. м. с постоянной областью. Система, полученная из J добавлением схемы (*), полна относительно К. м. с постоянной областью (см. [4]). Пропозициональный фрагмент каждой из систем J, S4, S5 является финитно аппроксимируемым, т. е. всякая невыводимая в нем формула опровержима на нек-рой конечной К. м. из соответствующего класса. Понятие "К. м." родственно понятию вынуждения (см. Вынуждения метод). К. м. введены С. А. Крипке (S. A. Kripke).
Лит.:[1] Крипке С. А., Семантический анализ модальной логики, в кн.: Ф е й с Р., Модальная логика, пер. с англ., М., 1974, с. 254-323; [2] Шютте К., Полные системы модальной и интуиционистской логики, там же, с. 324-421; [3] G о r d е r m a n n S., "J. Symb. Logic", 1971, v. 36, p. 249-61; [4] К о э н II о л Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969. С. К. Соболев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
